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Números complexos - Questão chata

Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 18:08

Oi, eu aqui denovo, peço ajuda para essa questão:
Dado o número complexo z=2+2i Calcular z^4

a) z^4=-64
b) z^4=-64-8\sqrt3i
c) z^4=-64+\sqrt3i
d) z^4=-8+8\sqrt3i
e) Nenhuma das alternativas


Obrigado quem me ajudar =D
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor DanielFerreira » Dom Mai 27, 2012 18:21

Dica:
calcule z^2 depois faça z^4 = (z^2)^2.

Lembre-se que:
i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = - 1

i^3 = - i
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 19:12

danjr5 escreveu:Dica:
calcule z^2 depois faça z^4 = (z^2)^2.

Lembre-se que:
i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = - 1

i^3 = - i



z^2=(2+2i)^2
Não consigo resolver, ajuda mais ? :oops:
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor Russman » Dom Mai 27, 2012 19:17

Use a identidade

{z}^{n}={\rho}^{n}(cos(n\theta)+i.sin(n\theta)),

onde z=a+i.b, \rho=\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}} e \theta = arctan(\frac{b}{a}).
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 19:20

Russman escreveu:Use a identidade

{z}^{n}={\rho}^{n}(cos(n\theta)+i.sin(n\theta)),

onde z=a+i.b, \rho=\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}} e \theta = arctan(\frac{b}{a}).



Entendi nada :S Tem como resolver ai pra mim ?
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor Russman » Dom Mai 27, 2012 19:32

Ok, esquece a identidade! k

Veja que z=2 + 2i = 2(1+i). Assim, como

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2},

então

{z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i.

Agora,

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 64(-1) = -64.
Editado pela última vez por Russman em Dom Mai 27, 2012 19:38, em um total de 1 vez.
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 19:37

Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que z=2 + 2i = 2(1+i). Assim, como

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2},

então

{z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i.

Agora,

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16.




Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui 4(1+i+i-1) ? Obrigado por me ajudar :)
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor Russman » Dom Mai 27, 2012 19:38

Porque

i.i = -1.
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 19:39

iceman escreveu:
Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que z=2 + 2i = 2(1+i). Assim, como

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2},

então

{z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i.

Agora,

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16.




Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui 4(1+i+i-1) ? Obrigado por me ajudar :)



AAAAh desculpa te incomodar, mais porquê aqui ficou assim: (1.1 + 1.i + 1.i + i.i) ? Obrigado mais uma vez D;
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor Russman » Dom Mai 27, 2012 19:43

Tem que calcular

{(1+i)}^{2}.

Isso é

(1+i)(1+i) = 1.1 + 1.i + 1.i + i.i = 2i
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 21:01

iceman escreveu:
Russman escreveu:Ok, esquece a identidade! k

Veja que z=2 + 2i = 2(1+i). Assim, como

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2},

então

{z}^{2} = {2}^{2}{(1+i)}^{2}= 4(1.1 + 1.i + 1.i + i.i) = 4(1+i+i-1) = 4(2i) = 8i.

Agora,

{z}^{4} = {({z}^{2})}^{2}={(8i)}^{2} = 16(-1) = -16.




Só uma coisa, porquê colocou sinal negativo aqui 4(1+i+i-1) ? Obrigado por me ajudar :)


Ainda não entendi o jogo de sinal nessa parte aqui: 4(1+i+i-1) ( o -1 que eu não consigo entender.) Help ? D;
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor DanielFerreira » Dom Mai 27, 2012 21:07

Russman escreveu:Porque

i.i = -1.


ou

i^2 = - 1
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor iceman » Dom Mai 27, 2012 21:12

danjr5 escreveu:
Russman escreveu:Porque

i.i = -1.


ou

i^2 = - 1


Valeuuuuuuuu :D
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Re: Números complexos - Questão chata

Mensagempor DanielFerreira » Dom Mai 27, 2012 21:26

:y: :y:
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Para derivar a função

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como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


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Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


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