Derivação logarítmica.

por **matematicouff** » Dom Mai 20, 2012 04:08

Alguém poderia me ajudar nesse assunto?
Estou com dificuldades em derivação logarítmica. Gostaria de saber como se solucionam essas questões e o que estaria fazendo de errado, já que parto sempre do princípio:
Se $y={f(x)}^{g(x)}$ então ${f}^{\prime}(x)={f(x)}^{g(x)}.\left[{g}^{\prime}(x).lnf(x)+\frac{g(x)}{f(x)}.{f}^{\prime}(x) \right]$ .
Consegui fazer algumas questões dessa maneira, já outras não consegui de forma alguma. Eis algumas:

a) $f(x)=\frac{{e}^{sen2x.\sqrt[]{x}}}{{e}^{cos3x}}$

b) $f(x)={e}^{(\sqrt[]{x})}.ln(\sqrt[]{x})$

c) $f(x)=({{e}^{x}})^{x}$

d) $f(x)={e}^{{x}^{x}}$

por **LuizAquino** » Ter Mai 22, 2012 14:59

matematicouff escreveu:Alguém poderia me ajudar nesse assunto?
Estou com dificuldades em derivação logarítmica. Gostaria de saber como se solucionam essas questões e o que estaria fazendo de errado, já que parto sempre do princípio:
Se $y={f(x)}^{g(x)}$ então ${f}^{\prime}(x)={f(x)}^{g(x)}.\left[{g}^{\prime}(x).lnf(x)+\frac{g(x)}{f(x)}.{f}^{\prime}(x) \right]$ .
Consegui fazer algumas questões dessa maneira, já outras não consegui de forma alguma. Eis algumas:

a) $f(x)=\frac{{e}^{sen2x.\sqrt[]{x}}}{{e}^{cos3x}}$

b) $f(x)={e}^{(\sqrt[]{x})}.ln(\sqrt[]{x})$

c) $f(x)=({{e}^{x}})^{x}$

d) $f(x)={e}^{{x}^{x}}$

Ao invés de "decorar" a fórmula, o ideal é que você aprenda a técnica.

Eu farei o item a) e você tenta resolver o restante.

Temos que:

$f(x) = \frac{e^{\,\textrm{sen}\,2x\sqrt{x}}}{e^{\cos 3x}}$

Note que f(x) > 0 para todo x no domínio de f. Desse modo, podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros e ficar com:

$\ln f(x) = \ln \left(\frac{e^{\,\textrm{sen}\,2x\sqrt{x}}}{e^{\cos 3x}}\right)$

$\ln f(x) = \ln \left(e^{\,\textrm{sen}\,2x\sqrt{x}\right) - \ln \left(e^{\cos 3x}}\right)$

$\ln f(x) = \textrm{sen}\,2x\sqrt{x} - \cos 3x$

Derivando ambos os membros, temos que:

$\left[\ln f(x)\right]^\prime = \left[\textrm{sen}\,2x\sqrt{x} - \cos 3x\right]^\prime$

$\frac{1}{f(x)}f^\prime(x) = 3\sqrt{x}\cos 2x\sqrt{x} + 3\,\textrm{sen}\,3x$

$f^\prime(x) = f(x)\left[3\sqrt{x}\cos 2x\sqrt{x} + 3\,\textrm{sen}\,3x\right]$

$f^\prime(x) = \frac{e^{\,\textrm{sen}\,2x\sqrt{x}}}{e^{\cos 3x}}\left[3\sqrt{x}\cos 2x\sqrt{x} + 3\,\textrm{sen}\,3x\right]$

Derivação logarítmica.

Derivação logarítmica.

Derivação logarítmica.

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