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[Derivada] regra do produto, da cadeia e trigonometria

[Derivada] regra do produto, da cadeia e trigonometria

Mensagempor souzalucasr » Sáb Mai 05, 2012 19:33

Olá pessoal,

Gostaria de ajuda na seguinte questão, que envolve derivadas com uso da regra do produto, regra da cadeia e trigonometria. Resolvi a questão em uma apostila, mas a solução está diferente do meu resultado e eu gostaria de verificar com vocês. Posto abaixo minha resolução e a resposta dada.

Determinar a derivada da expressão abaixo
f(x)=x\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x)+cos^2(\frac {\pi}{5}+x)

Resolvi da seguinte forma:

f'(x)=(x\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x))' +(cos^2(\frac {\pi}{5}+x))' (derivada da soma = soma das derivadas)

Na primeira derivada, como é um produto, aplico a regra do produto. Na segunda, aplico a regra da cadeia. Sendo assim, temos:

f'(x)=(x)'\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot (sen(\frac {\pi}{5}+3x))'+(cos(\frac {\pi}{5}+x))'\cdot ((cos(\frac {\pi}{5}+x))^2)'

f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {\pi}{5}+x)\cdot 2 cos(\frac {\pi}{5}+x)

Então, minha resposta ficou assim:

f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-2sen(\frac {\pi}{5}+x) cos(\frac {\pi}{5}+x)

E a resposta da apostila é a seguinte:

f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+3x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {2\pi}{5}+2x)

Eu estou errado ou a resposta que está errada?

Desde já, muito obrigado pela ajuda de vocês!
souzalucasr
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Re: [Derivada] regra do produto, da cadeia e trigonometria

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mai 05, 2012 19:54

souzalucasr escreveu:Olá pessoal,

Gostaria de ajuda na seguinte questão, que envolve derivadas com uso da regra do produto, regra da cadeia e trigonometria. Resolvi a questão em uma apostila, mas a solução está diferente do meu resultado e eu gostaria de verificar com vocês. Posto abaixo minha resolução e a resposta dada.

Determinar a derivada da expressão abaixo
f(x)=x\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x)+cos^2(\frac {\pi}{5}+x)

Resolvi da seguinte forma:

f'(x)=(x\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x))' +(cos^2(\frac {\pi}{5}+x))' (derivada da soma = soma das derivadas)

Na primeira derivada, como é um produto, aplico a regra do produto. Na segunda, aplico a regra da cadeia. Sendo assim, temos:

f'(x)=(x)'\cdot  sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot (sen(\frac {\pi}{5}+3x))'+(cos(\frac {\pi}{5}+x))'\cdot ((cos(\frac {\pi}{5}+x))^2)'

f'(x)=sen(\frac {\pi}{5}+3x)+x\cdot cos(\frac {\pi}{5}+3x)-sen(\frac {\pi}{5}+x)\cdot 2 cos(\frac {\pi}{5}+x)


Você esqueceu de aplicar a regra da cadeia no termo \textrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{5}+3x\right) . Note que:

\left[\textrm{sen}\,\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\right]^\prime = \left[\cos \left(\frac{\pi}{5}+3x\right)\right]\left(\frac{\pi}{5}+3x\right)^\prime = 3\cos \left(\frac{\pi}{5}+3x\right)

Já no termo \cos^2\left(\frac {\pi}{5}+x\right) temos que aplicar a regra da cadeia duas vezes. Note que:

\left\{\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^2\right\}^\prime = 2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[\cos\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^\prime

=  2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[-\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]^\prime

=  2\left[\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\left[-\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)\right]\cdot 1

=  -2\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right)

Por fim, usando a identidade trigonométrica 2\,\textrm{sen}\,\alpha\cos \alpha = \,\textrm{sen}\, 2\alpha , temos que:

-2\cos \left(\frac {\pi}{5}+x\right)\,\textrm{sen}\,\left(\frac {\pi}{5}+x\right) = -\,\textrm{sen}\,\left(\frac {2\pi}{5} + 2x\right)
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Re: [Derivada] regra do produto, da cadeia e trigonometria

Mensagempor souzalucasr » Sáb Mai 05, 2012 20:16

Perfeito, Luiz! Mais uma vez você me ajudando =)

Muito obrigado!
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.