Como prosseguir?

por **Cleyson007** » Qui Mai 03, 2012 09:38

Bom dia a todos!

Calcule a integral iterada $\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}y{e}^{xy}dxdy$

Consegui desenvolver até aqui:

$\int_{1}^{2}y\left [\frac{e^{xy}}{y} \right ]_{1}^{2}dy\Rightarrow \int_{1}^{2}\left [ e^{xy} \right ]_{1}^{2}dy\Rightarrow \int_{1}^{2}(e^{2y}-e^{y})\,dy$

Preciso de ajuda para prosseguir.

Até mais.

por **LuizAquino** » Qui Mai 03, 2012 10:17

Cleyson007 escreveu:Calcule a integral iterada $\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}y{e}^{xy}dxdy$

Consegui desenvolver até aqui:

$\int_{1}^{2}y\left [\frac{e^{xy}}{y} \right ]_{1}^{2}dy\Rightarrow \int_{1}^{2}\left [ e^{xy} \right ]_{1}^{2}dy\Rightarrow \int_{1}^{2}(e^{2y}-e^{y})\,dy$

Preciso de ajuda para prosseguir.

Lembre-se que:

$\int e^{2y}\, dy = \frac{1}{2}e^{2y} + c$

$\int e^{y}\, dy = e^{y} + c$

por **Cleyson007** » Qui Mai 03, 2012 11:12

Bom dia Luiz Aquino!

Luiz, essa dica que você me passou é regra? Sempre vai ser assim?

$\int_{1}^{2}(e^{2y}-e^{y})\,dy\Rightarrow \left [ \frac{1}{2}e^{2y}+c-(e^y+c) \right ]_{1}^{2}$

$\left [ \frac{e^{2y}}{2}\,-\,e^y \right ]_{1}^{2}\Rightarrow \left ( \frac{e^{4}}{2}\,-\,e^2 \right )-\left ( \frac{e^{2}}{2}\,-\,e \right )$

$\left(\frac{{e}^{4}-2e^2}{2} \right)\,-\,\left(\frac{e^2-2e}{2} \right)\Rightarrow\frac{{e}^{4}-3{e}^{2}+2e}{2}=\frac{{e}^{4}}{2}-\frac{3e^2}{2}+e$

Está correto?

Até mais.

por **LuizAquino** » Qui Mai 03, 2012 11:23

Cleyson007 escreveu:Luiz, essa dica que você me passou é regra? Sempre vai ser assim?

Provavelmente você já sabe que a derivada da função f(u) = e^u

é dada por $f^\prime(u) = e^u$ .

Considere então a integral:

$\int e^{2y}\, dy$

O que acontece se você resolver essa integral através da substituição u = 2y?

Cleyson007 escreveu: $\int_{1}^{2}(e^{2y}-e^{y})\,dy\Rightarrow \left [ \frac{1}{2}e^{2y}+c-(e^y+c) \right ]_{1}^{2}$

$\left [ \frac{e^{2y}}{2}\,-\,e^y \right ]_{1}^{2}\Rightarrow \left ( \frac{e^{4}}{2}\,-\,e^2 \right )-\left ( \frac{e^{2}}{2}\,-\,e \right )$

$\left(\frac{{e}^{4}-2e^2}{2} \right)\,-\,\left(\frac{e^2-2e}{2} \right)\Rightarrow\frac{{e}^{4}-3{e}^{2}+2e}{2}=\frac{{e}^{4}}{2}-\frac{3e^2}{2}+e$

Está correto?

Sim.

por **Cleyson007** » Qui Mai 03, 2012 11:55

Bom dia Luiz Aquino!

Considerando a integral $\int e^{2y}dy$ .

No meu ponto de vista, se eu resolvê-la fazendo uso da substituição u=2y

, terei:

$\int e^{u}dy\Rightarrow\frac{{e}^{2y}}{2}+c$

Aguardo retorno.

por **LuizAquino** » Qui Mai 03, 2012 12:01

Cleyson007 escreveu:Considerando a integral $\int e^{2y}dy$ .

No meu ponto de vista, se eu resolvê-la fazendo uso da substituição , terei:

$\int e^{u}dy\Rightarrow\frac{{e}^{2y}}{2}+c$

O resultado é esse. Mas você não escreveu adequadamente a subsituição.

Considerando a substituição u = 2y, temos que du = 2dy. Desse modo, temos que:

$\int e^{2y}\,dy = \int \frac{1}{2} e^u\, du = \frac{1}{2}e^u + c = \frac{1}{2}e^{2y} + c$

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