DERIVADA - cálculo através da definição

por **emsbp** » Sáb Abr 28, 2012 18:20

Boa tarde.
Peço ajuda no seguinte exercício: calcule pela definição a derivada da função $f(x)= {log}^{2}(x+1)$ .
Fiz do seguinte modo:
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{{log}^{2}(x+h+1)-{log}^{2}(x+1)}{h}$ = $\lim_{h\rightarrow0}\frac{{log}^{2}(\frac{x+h+1}{x+1})}{h} = \lim_{h\rightarrow0}log({\frac{x+h+1}{x+1}})^{\frac{1}{h}}log(\frac{x+h+1}{x+1})$ .
A partir daqui, tenho que usar o método por substituição, ou não?
Obrigado!

por **LuizAquino** » Dom Abr 29, 2012 20:34

emsbp escreveu:Boa tarde.
Peço ajuda no seguinte exercício: calcule pela definição a derivada da função $f(x)= {log}^{2}(x+1)$ .
Fiz do seguinte modo:
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{{log}^{2}(x+h+1)-{log}^{2}(x+1)}{h}$ = $\lim_{h\rightarrow0}\frac{{log}^{2}(\frac{x+h+1}{x+1})}{h}$

O último passo está errado. O correto seria fazer:

$\lim_{h\to 0}\frac{{\log}^{2}(x+h+1)-{\log}^{2}(x+1)}{h}$ $\,= \lim_{h\to 0}\frac{\left[\log(x+h+1) - \log(x+1)\right]\left[\log(x+h+1) + \log(x+1)\right]}{h}$

$= \lim_{h\to 0}\frac{\left[\log\left(\frac{x+h+1}{x+1}\right)\right]\left\{\log[(x+h+1)(x+1)]\right\}}{h}$

$= \left[\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\log\left(1 + \frac{h}{x+1}\right)\right]\lim_{h\to 0} \log[(x+h+1)(x+1)]$

Agora tente continuar a partir daí.