Resolução de Limite

por **Ewerton Farias** » Ter Abr 24, 2012 02:11

3 lim? ln?|x-3| - 2 lim ?ln?|x+4|
x?? x??

Alguém sabe me explicar por que essa integral é igual a ? ?

por **LuizAquino** » Sex Abr 27, 2012 11:34

Ewerton Farias escreveu:3 lim? ln?|x-3| - 2 lim ?ln?|x+4|
x?? x??

Alguém sabe me explicar por que essa integral é igual a ? ?

Note que você disse "integral" ao invés de "limite".

Eu presumo que a expressão seja:

$3\lim_{x\to +\infty} \ln |x - 3| - 2\lim_{x\to +\infty} \ln |x + 4|$

Nesse caso, temos que:

$3\lim_{x\to +\infty} \ln |x - 3| - 2\lim_{x\to +\infty} \ln |x + 4| = \lim_{x\to +\infty} 3\ln |x - 3| - 2\ln |x + 4|$

$= \lim_{x\to +\infty} \ln |x - 3|^3 - \ln |x + 4|^2$

$= \lim_{x\to +\infty} \ln \frac{|x - 3|^3}{|x + 4|^2}$

Como x vai para mais infinito, temos que x - 3 e x + 4 são números positivos. Portanto, temos que |x - 3| = x - 3 e |x + 4| = x + 4. Podemos então apenas escrever:

$= \lim_{x\to +\infty} \ln \frac{(x - 3)^3}{(x + 4)^2}$

Dividindo o numerador e o denominador por x^3

, temos que:

$=\lim_{x\to +\infty} \ln \frac{\frac{(x - 3)^3}{x^3}}{\frac{(x + 4)^2}{x^3}}$

$= \lim_{x\to +\infty} \ln \frac{\left(\frac{x - 3}{x}\right)^3}{\frac{1}{x}\left(\frac{x + 4}{x}\right)^2}$

$= \lim_{x\to +\infty} \ln x\frac{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^3}{(1 + \frac{4}{x})^2}$

Note que dentro do logaritmo natural (ou seja, dentro da função ln), temos que x vai para $+\infty$ e que $\frac{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^3}{(1 + \frac{4}{x})^2}$ vai para 1. Isso significa que dentro da função ln temos uma expressão que vai para $(+\infty) \cdot 1 = +\infty$ .

Acontece que na função ln, se $u\to +\infty$ , então $\ln u\to +\infty$ . Em outras palavras, se o que está "dentro" da função ln vai para $+\infty$ , então o valor da função ln vai para $+\infty$ também.

Portanto, temos que:

$=\lim_{x\to +\infty} \ln x\frac{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^3}{(1 + \frac{4}{x})^2} = +\infty$

por **Ewerton Farias** » Sex Abr 27, 2012 17:30

Muito Obrigado! Entendi!
Valeu Mesmo!!!

Resolução de Limite

Resolução de Limite

Resolução de Limite

Re: Resolução de Limite

Re: Resolução de Limite

Quem está online