[Sistema Price] Problemas com conversão de taxas

por **fsalina** » Sáb Mar 31, 2012 23:21

Luiza pegou um empréstimo pessoal do Citybanco, no valor de R$ 24 mil, para ser pago em 24
prestações, mensais e fixas, com juros efetivos de 24% ao ano. Qual o valor de cada
prestação a ser paga se a 1ª parcela vencer no dia da concessão do crédito e 30 dias
depois? Há diferença nesses valores? Por quê?

A fórmula de prestação postecipada é a seguinte: ${PMT}_{P}=PV\times\frac{{\left(1+i\right)}^{N}\times i}{{\left(1+i \right)}^{N}-1}$ , certo?

Aprendi que o adequado é converter o tempo à taxa, por dar menos trabalho.

Convertendo (24 meses=2 anos), a fórmula fica assim: ${PMT}_{P}=24000\times\frac{{\left(1+0,24 \right)}^{2}\times0,24}{{\left(1+0,24 \right)}^{2}-1}$

Fazendo essa álgebra, o meu resultado é: ${PMT}_{P}=16.474,29$

E quando utilizo a HP12C e aperto a seguinte sequência de teclas: fCLX; gEND; 24000; CHS; PV; 24; ENTER; 12; /; n; 24; i; PMT

fCLX; gEND; 24000; CHS; PV; 24; ENTER; 12; /; n; 24; i; PMT

, o resultado é o mesmo: ${PMT}_{P}=16.474,29$

Acho que esse resultado é impróprio.

Em vez de converter o tempo, ao converter a taxa, a fórmula seria essa? ${\left(1+{i}_{a.m.} \right)}^{N}=\left(1+{i}_{a.a.} \right)$
Se for, como resolvo?

Como não consegui, usei o inverso de potenciação (radiciação), que, a meu ver, seria assim: $\sqrt[N]{\left(1+{i}_{a.a.} \right)}=\left(1+{i}_{a.m.} \right)$ ou $\left(1+{i}_{a.a.} \right)}^{\frac{1}{N}}=\left(1+{i}_{a.m.} \right)$ , está certo?

Resolvendo com radiciação eu cheguei ao resultado: $i\simeq0,01808$ , ou seja, aproximadamente 1,81%.

Porém, ao resolver tanto pela álgebra como pela HP12C, o resultado é: ${PMT}_{P}=1.241,76$

Por quê dá absurdamente diferente convertendo tanto o tempo quanto a taxa?
Onde estou errando?
Alguém pode me explicar?
O resto do exercício é basicamente a mesma coisa, pois pra achar o antecipado, preciso do postecipado, e sem isso fica impossível de saber.

Desde já, obrigado!

por **Fabiano Vieira** » Sáb Abr 21, 2012 22:43

Se a taxa é de 24% a.a, então ao mês será 2%. Faça o cálculo considerando i = 0,02. E, como são 24 meses, na fórmula coloque (1+0,02)^24.

por **fsalina** » Dom Abr 22, 2012 11:13

Aí é que tá... o Sistema Price não é com juros compostos?
A conversão que você fez é em juros simples, que dá uma taxa efetiva de 26,82% a.a., que é mais que 24%.

por **Fabiano Vieira** » Qua Abr 25, 2012 21:51

fsalina escreveu:Aí é que tá... o Sistema Price não é com juros compostos?
A conversão que você fez é em juros simples, que dá uma taxa efetiva de 26,82% a.a., que é mais que 24%.

Esse cálculo que eu coloquei também é de juros compostos, mas seria somente se a taxa 24%a.a fosse nominal capitalizada mensalmente e 26,82 seria a taxa efetiva equivalente. Porém a do exercício já é efetiva(o que nós não consideramos até agora).

Então temos que descobrir a taxa mensal equivalente a taxa efetiva de 24%a.a. Desse modo, seria:

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que é igual a 0,01808.

por **Fabiano Vieira** » Dom Abr 29, 2012 00:20

por **Fabiano Vieira** » Dom Abr 29, 2012 00:54

Desculpe, Fsalina.

Agora entendi a sua dúvida.

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Nessa fórmula tem que colocar a taxa mensal(0,01808), considere somente 0,01, assim:

$\frac{(1+0,01)^1^2*0,01}{(1+0,01-1)}$

como já sabemos que (1+0,01)^12 = 24, então:

$\frac{1,24*0,01}{0,24}$ = 0,051666

$\frac{24000*0,051666 = 1240,00}$

por **fsalina** » Dom Abr 29, 2012 03:08

Ahaam, só que,

se os períodos são em mês, posso converter a taxa para mês, certo?
se a taxa é em ano, posso converter os períodos para ano, certo?

Por que nesse caso eu não poderia converter os períodos para ano?

Essa é a minha dúvida principal!

Abç!

por **Fabiano Vieira** » Dom Abr 29, 2012 11:47

No Sistema Price a taxa de juros utilizada deve coincidir com a do período de amortização. Quando isso não ocorrer devemos transformar a taxa de juros dada, determinando a taxa equivalente composta de período igual ao da amortização.
(conteúdo:matematicafinaneira.net)

Ex.: a diferença da taxa de 24%a.a. com pagamentos mensais e bimestrais.

mensais: $\sqrt[12]{1,24}$

bimestrais $\sqrt[6]{1,24}$

Assim, nesse cálculo:

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Seria o mesmo que tomar um empréstimo à taxa de 24%a.a. pagos em dois anos, com pagamentos ao final de cada ano, ou seja, não seria 24 pagamentos de 16.474,29, e sim 2 pagamentos de 16.474,29.

se os períodos são em mês, posso converter a taxa para mês, certo?
se a taxa é em ano, posso converter os períodos para ano, certo?

Por que nesse caso eu não poderia converter os períodos para ano?

Como diz o texto acima: "a taxa deve coincidir com o período de amortização".