Integrais

por **Guilherme Carvalho** » Sex Abr 13, 2012 21:51

Não consegui resolver estas integrais, alguém pode me ajudar.....
$\int_{}^{}\frac{{e}^{2x}}{1+{e}^{x}}dx$

$\int_{0}^{3} \frac{dx}{{x}^{2}-6x+5}$

obs: a segunda eu fiz mais mas deu uma resposta diferente da do livro minha resposta deu 1/4 (ln|1/5|)

por **DanielFerreira** » Sex Abr 13, 2012 22:07

$\int_{}^{}\frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx =$

$\int_{}^{}\frac{e^x . e^x}{1 + e^x} dx =$

Seja:
e^x + 1 = k

======>

$\int_{}^{}\frac{e^x}{1 + e^x} . e^x dx =$

$\int_{}^{}\frac{k - 1}{k}dk =$

$\int_{}^{}\left(1 - \frac{1}{k}\right)dk =$

$\left[k - ln k \right] =$

e^x + 1 - ln (e^x + 1) + c =

por **Guilherme Carvalho** » Sex Abr 13, 2012 22:19

Vlw danjr5

por **DanielFerreira** » Sex Abr 13, 2012 23:41

$\int_{0}^{3}\frac{1}{x^2 - 6x + 5} =$

$\int_{0}^{3}\frac{1}{(x - 1)(x - 5)} =$

Façamos:
$\frac{1}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 5)}$

$\frac{1}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{A(x - 5) + B(x - 1)}{(x - 1)(x - 5)}$

$\frac{1}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{(A + B)x + (- 5A - B)}{(x - 1)(x - 5)}$

resolvendo o sistema:
$\begin{vmatrix} A + B = 0 \\ - 5A - B = 1 \end$

teremos:
$A = \frac{- 1}{4}$

e

$B = \frac{1}{4}$

Daí,
a integral será...

$\int_{0}^{3}\left(\frac{- 1}{4(x - 1)} + \frac{1}{4(x - 5)} \right) dx =$

$\frac{1}{4}\int_{0}^{3}\left(\frac{- 1}{(x - 1)} + \frac{1}{(x - 5)} \right) dx =$

$\left[\frac{- ln |x - 1|}{4} + \frac{ln |x - 5|}{4} \right]_{0}^{3} =$

$f(3) = \frac{- ln 2}{4} + \frac{ln 2}{4} ====> 0$

$f(0) = \frac{- ln 1}{4} + \frac{ln 5}{4} ====> \frac{ln 5}{4}$

logo,
f(3) - f(0) =