Equações diferenciais: solução geral

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Equações diferenciais: solução geral

Mensagempor emsbp » Sáb Abr 07, 2012 18:01

Boa tarde.
Existe algum método para determinar uma equação diferencial, dado a sua solução geral?
Por exemplo: determine uma equação diferencial que admita como solução geral a família de funções y={c}_{1}sen(x+{c}_{2}).
Obrigado!
emsbp
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Re: Equações diferenciais: solução geral

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Abr 07, 2012 19:03

Uma equação clássica sobre isso é y'' +y = 0. Procure sobre equações diferenciais como variações desta. Pesquise sobre a equação característica, isto te ajudará a encontrar vários exemplos.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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