Demonstração

por **Fabio Wanderley** » Qui Mar 29, 2012 20:14

Eu vim para criar um tópico, mas vou aproveitar o do colega.

Estou com muitas dificuldades em demonstrações (p. ex em GA e em Cálculo I). Como faço pra desenvolver esse tipo de raciocínio? Alguém tem algum material ou videoaula para indicar?

Desde já agradeço!

por **MarceloFantini** » Qui Mar 29, 2012 20:20

Aprender a fazer demonstrações é treino, algumas tem técnicas manjadas, você toma o jeito com o tempo. Contudo, experiências prévias (no ensino médio, como deveria ser) ajudam a compreender melhor. O primeiro livro do Gelson Iezzi da coleção Fundamentos de Matemática Elementar deve ajudar. Ele tem os rudimentos de lógica usados em matemática e dá as idéias básicas.

por **LuizAquino** » Qui Mar 29, 2012 23:13

Fabio Wanderley escreveu:Estou com muitas dificuldades em demonstrações (p. ex em GA e em Cálculo I). Como faço pra desenvolver esse tipo de raciocínio? Alguém tem algum material ou videoaula para indicar?

Além do que o colega MarceloFantini falou, vide também o que foi discutido no tópico abaixo:

Dificuldade em exercícios de demonstração

viewtopic.php?f=120&t=7037

por **Fabio Wanderley** » Sex Mar 30, 2012 13:15

Obrigado, Marcelo e Luiz!

Já estou pesquisando o material. Vou fazer os treinos.

Meu objetivo é verificar uma conjectura que meu professor de GA passou. É mais ou menos isso: "Dado um quadrilátero qualquer, tomam-se os pontos médios de cada lado. Estes serão os vértices de um paralelogramo."

Espero conseguir e postar aqui no fórum :lol:

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 15:09

Fabio Wanderley escreveu:Meu objetivo é verificar uma conjectura que meu professor de GA passou. É mais ou menos isso: "Dado um quadrilátero qualquer, tomam-se os pontos médios de cada lado. Estes serão os vértices de um paralelogramo."

Eu presumo que o objetivo seja provar essa proposição usando vetores. Eu vou mostrar a ideia e você tenta fazer o exercício.

Considere o quadrilátero ABCD ilustrado na figura abaixo. Tome os pontos médios M, N, P e Q, respectivamente, dos lados AB, BC, CD e DA.

: figura1.png (8.02 KiB) Exibido 1013 vezes

Para provar que o quadrilátero MNPQ é um paralologramo, você precisa provar que o lado MN é paralelo ao lado PQ e o lado NP é paralelo ao lado QM.

Considere a figura abaixo. Observe os vetores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{DC}$ , $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{QP}$ e $\overrightarrow{AC}$ .

: figura2.png (7.52 KiB) Exibido 1013 vezes

Note as seguintes relações:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{QP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$

Agora responda: o que você pode concluir dessas relações?

por **Fabio Wanderley** » Sex Abr 06, 2012 13:38

LuizAquino escreveu:
Fabio Wanderley escreveu:Meu objetivo é verificar uma conjectura que meu professor de GA passou. É mais ou menos isso: "Dado um quadrilátero qualquer, tomam-se os pontos médios de cada lado. Estes serão os vértices de um paralelogramo."

Eu presumo que o objetivo seja provar essa proposição usando vetores. Eu vou mostrar a ideia e você tenta fazer o exercício.

Considere o quadrilátero ABCD ilustrado na figura abaixo. Tome os pontos médios M, N, P e Q, respectivamente, dos lados AB, BC, CD e DA.

figura1.png

Para provar que o quadrilátero MNPQ é um paralologramo, você precisa provar que o lado MN é paralelo ao lado PQ e o lado NP é paralelo ao lado QM.

Considere a figura abaixo. Observe os vetores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{DC}$ , $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{QP}$ e $\overrightarrow{AC}$ .

figura2.png

Note as seguintes relações:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{QP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$

Agora responda: o que você pode concluir dessas relações?

Observei que os vetores MN e QP é 1/2, cada um, do vetor AC. Com isso conclui que eles (MN e QP) são paralelos. Logo o quadrilatero MNPQ é um paralelogramo.

Obrigado!

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 19:02

Fabio Wanderley escreveu:Observei que os vetores MN e QP é 1/2, cada um, do vetor AC. Com isso conclui que eles (MN e QP) são paralelos.

Ok.

Fabio Wanderley escreveu:Logo o quadrilatero MNPQ é um paralelogramo.

Calma! Você ainda não pode concluir isso. Você precisa antes provar que o lado NP é paralelo ao lado QM. Tente fazer essa parte.

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