Demonstração

por **Well** » Qua Mar 28, 2012 21:48

Bem,estou tendo um problema com a demonstração matemática,ainda estou aprendendo.

Tenho que demonstrar se a afirmação a baixo é verdadeira ou não

$0 < a < b \Rightarrow \sqrt[]{a} < \sqrt[]{b}$

Obrigado.

por **ednaldo1982** » Qua Mar 28, 2012 22:15

0 < 4 < 9 $\Rightarrow$ $\sqrt[]{4} < \sqrt[]{9}$

por **MarceloFantini** » Qua Mar 28, 2012 23:34

Well, que tipo de ferramentas você tem ao seu dispor?

por **LuizAquino** » Qui Mar 29, 2012 12:29

Well escreveu:Bem,estou tendo um problema com a demonstração matemática, ainda estou aprendendo.

Tenho que demonstrar se a afirmação a baixo é verdadeira ou não

$0 < a < b \Rightarrow \sqrt[]{a} < \sqrt[]{b}$

Para provar essa afirmação vamos usar o seguinte produto notável:

$\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = a - b$ , com a e b números reais positivos.

Se desejar provar esse produto notável o processo é simples. Basta aplicar a distributiva.

Pois bem. Vejamos como usar esse produto notável para demonstrar a afirmação.

Por hipótese, temos que 0 < a < b. Isso significa que a e b são números reais positivos e diferentes de zero, sendo que a é menor do que b.

Note que podemos escrever que:

a < b
a - b < 0

Como a e b são positivos, podemos usar o produto notável citado anteriormente. Temos então que:

$\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) < 0$

Como $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ são números positivos (pela definição de raiz quadrada), temos que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é um número positivo.

Sabemos que a e b não são zero. Sendo assim, temos que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ não é zero. Podemos então dividir toda a inequação anterior por essa soma. Note que a inequação não mudará o seu sentido, pois $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ é um número positivo. Temos então que:

$\dfrac{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} < \dfrac{0}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

$\sqrt{a} - \sqrt{b} < 0$

$\sqrt{a} < \sqrt{b}$

Isso conclui a prova de que a afirmação é verdadeira.

Observação

ednaldo1982 escreveu:0 < 4 < 9 $\Rightarrow$ $\sqrt[]{4} < \sqrt[]{9}$

Apenas um exemplo numérico não serve como prova que de que a afirmação é verdadeira.

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