[Equações Paramétricas] Comprimento da Curva

por **vmouc** » Ter Mar 27, 2012 14:53

Pessoal,

Essa questão caiu na minha prova de Calculo, ontem. Por favor me dêem uma ajuda pra entender.

Encontre o cumprimento da curva:
y= t.sen(t)

nos limites $2\pi\leq t \leq4\pi$ .

Fiz da seguinte forma:

$\frac{dy}{dt}= sen(t) + t.cos(t)$ pela regra do produto (derivação)

$\frac{dx}{dt}= cos(t)-t.sen(t)$

Aplicando na equação de comprimento da curva:
$\int_{}^{}\sqrt[]{\left(\frac{dy}{dt} \right)^2+\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 dt}$

Onde por regra o resultado seria: $\int_{}^{}\sqrt[]{a^2+u^2}du= \frac{u}{2}\sqrt[]{a^2+u^2}+\frac{a^2}{2}ln\left|u+\sqrt[]{a^2+u^2} \right|+C$

$\frac{cos(t)-t.sen(t)}{2}.\sqrt[]{\left(sen^2t + t^2.cos^2t \right)+ \left(cos^2t + t^2sen^2t \right)} + \frac{sen^2t + t^2cos^2t}{2}$ . $ln\left|\left(cos(t)-tsen(t) \right) +\sqrt[]{\left(sen^2t+t^2cos^2t \right)+\left(cos^2t +t^2sen^2t \right)}\right|+C$

Pra tentar organizar, fiz o seguinte:

OBS: $t^2\left(sen^2t+cos^2t \right)+\left(cos^2t+sen^2t \right)$
Ficou: t^2+1

Voltando:

$\frac{cos(t)-tsen(t)}{2}.\sqrt[]{t^2+1^2} + \frac{sen^2(t) + t^2cos^2(t)}{2}ln\left|cos(t)-tsen(t)+\sqrt[]{ t^2+1^2} \right|$

Este é o caminho? Ja continuo...

por **LuizAquino** » Ter Mar 27, 2012 18:42

vmouc escreveu:Onde por regra o resultado seria: $\int_{}^{}\sqrt[]{a^2+u^2}du= \frac{u}{2}\sqrt[]{a^2+u^2}+\frac{a^2}{2}ln\left|u+\sqrt[]{a^2+u^2} \right|+C$

$\frac{cos(t)-t.sen(t)}{2}.\sqrt[]{\left(sen^2t + t^2.cos^2t \right)+ \left(cos^2t + t^2sen^2t \right)} + \frac{sen^2t + t^2cos^2t}{2}$ $\, . \, ln\left|\left(cos(t)-tsen(t) \right) +\sqrt[]{\left(sen^2t+t^2cos^2t \right)+\left(cos^2t +t^2sen^2t \right)}\right|+C$

Aqui você cometeu um erro de interpretação. Note como apenas decorar "regras" não é uma boa prática.

Nessa "regra" que você exibiu, o termo a² é uma constante. Ou seja, esse termo não depende da variável da integral (que no caso é u).

Mas quando você aplicou essa "regra", você considerou indevidamente que o termo $\left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ é uma constante. Esse não é o caso, já que esse termo é dependente da variável da integral (que no caso é t).

por **vmouc** » Qui Abr 19, 2012 13:59

Então não entendo a forma que deveria ser feito. Você poderia só deixar um pouco mais claro de como deveria ser resolvido, por gentileza?

por **LuizAquino** » Qui Abr 19, 2012 15:10

vmouc escreveu:Então não entendo a forma que deveria ser feito. Você poderia só deixar um pouco mais claro de como deveria ser resolvido, por gentileza?

Você já sabe que:

$\frac{dy}{dt} = \,\textrm{sen}\, t + t\cos t$

$\frac{dx}{dt} = \cos t - t\,\textrm{sen}\, t$

Desse modo, temos que:

$\int \sqrt{\left(\frac{dy}{dt} \right)^2+\left(\frac{dx}{dt} \right)^2} \, dt = \int \sqrt{\left( \,\textrm{sen}\, t + t\cos t \right)^2+\left( \cos t - t\,\textrm{sen}\, t\right)^2} \, dt$

$= \int \sqrt{t^2 + 1} \, dt$

Tente continuar a partir daí.