Ajuda em um limite fundamental

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Ajuda em um limite fundamental

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Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor Fabio Wanderley » Sex Mar 23, 2012 13:13

Olá, pessoal. Estou no início do curso de Cálculo I e estudei até Limite Fundamental. Alguém pode me ajudar a resolver esse limite (lembrando que não estudei derivada)?

\lim_{x\to0}{x . sen(1/x)}

Tenho outra dúvida também: Posso multiplicar uma indeterminação por zero, resultando em zero? (Isso pq cheguei ao limite de um produto, em que há uma indeterminação sendo multiplicada por sen 0)

Obrigado!
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 23, 2012 15:16

Você já estudou o teorema do confronto?
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor Fabio Wanderley » Sex Mar 23, 2012 17:44

MarceloFantini escreveu:Você já estudou o teorema do confronto?


Ahhh, vc citou e eu revisei.. acho que entendi mais ou menos agora.. "se x tiver limite 0 em 0 e se sen (1/x) for limitada, então o produto 0 . sen (1/x) terá limite 0 em 0"

É isso o caminho para o exercício né?
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 23, 2012 19:43

Mais ou menos. Sabemos que \left| \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \right| \leq 1, logo -1 \leq \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1. Daí, -x \leq x \, \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \leq x. Vê agora?
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor Fabio Wanderley » Sex Mar 23, 2012 19:54

MarceloFantini escreveu:Mais ou menos. Sabemos que \left| \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \right| \leq 1, logo -1 \leq \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1. Daí, -x \leq x \, \textrm{sen} \left( \frac{1}{x} \right) \leq x. Vê agora?


Perfeito! Agora enxerguei o teorema do confronto! E caí na real que a função seno é limitada!!

Muito obrigado!
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 24, 2012 02:34

Fabio Wanderley escreveu:Perfeito! Agora enxerguei o teorema do confronto! E caí na real que a função seno é limitada!!


Se você desejar ver o Teorema do Confronto aplicado ao cálculo de outro limite trigonométrico, por favor assista a videoaula "07. Cálculo I - Limites Trigonométricos" que está disponível em meu canal no YouTube.
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Re: Ajuda em um limite fundamental

Mensagempor Fabio Wanderley » Sáb Mar 24, 2012 13:01

LuizAquino escreveu:
Fabio Wanderley escreveu:Perfeito! Agora enxerguei o teorema do confronto! E caí na real que a função seno é limitada!!


Se você desejar ver o Teorema do Confronto aplicado ao cálculo de outro limite trigonométrico, por favor assista a videoaula "07. Cálculo I - Limites Trigonométricos" que está disponível em meu canal no YouTube.


Assisti ao vídeo. Melhorou ainda mais minha visão sobre o assunto. Recomendo aos colegas do fórum!

Obrigado!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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