Onde foi que eu errei

por **Gabriel Doria** » Sex Mar 23, 2012 00:03

Derive a seguinte equação implícita:
$y^3=\frac{x-y}{x+y}$

Minha solução:
$y^3=\frac{x-y}{x+y}\to\ln{y^3}=\ln(\frac{x-y}{x+y})\to\\ \frac{d[\ln y^3]}{dx}=\frac{d[\ln(x-y)]}{dx}-\frac{d[\ln(x+y)]}{dx}\\ \frac{3\cdot y'}{y}=\frac{1-y'}{x-y}-\frac{1+y'}{x+y}\\ \frac{3y'}{y}=\frac{(1-y')(x+y)-(1+y')(x-y)}{x^2-y^2}\\ \frac{3y'}{y}=\frac{x-y-y'(x+y)-[x-y+y'(x-y)]}{x^2-y^2}\\ \frac{3y'}{y}=\frac{2y-y'(2x)}{x^2-y^2}\\ \frac{3y'}{y}+\frac{y'2x}{x^2-y^2}=\frac{2y}{x^2-y^2}\\ y'(\frac{3}{y}+\frac{2x}{x^2-y^2})=\frac{2y}{x^2-y^2}\\ y'(\frac{3x^2-3y^2+2xy}{y\cdot(x^2-y^2)})=\frac{2y}{x^2-y^2}\\ y'=\frac{2y^2}{3x^2-3y^2+2xy}$

Onde foi que eu errei?

por **nietzsche** » Sex Mar 23, 2012 02:14

Na quinta linha quando você distribui o produto era pra ser positivo:

$y^3=\frac{x-y}{x+y}\to\ln{y^3}=\ln(\frac{x-y}{x+y})\to\\ \frac{d[\ln y^3]}{dx}=\frac{d[\ln(x-y)]}{dx}-\frac{d[\ln(x+y)]}{dx}\\ \frac{3\cdot y'}{y}=\frac{1-y'}{x-y}-\frac{1+y'}{x+y}\\ \frac{3y'}{y}=\frac{(1-y')(x+y)-(1+y')(x-y)}{x^2-y^2}\\ ->\frac{3y'}{y}=\frac{x+y-y'(x+y)-[x-y+y'(x-y)]}{x^2-y^2}\\$