[Sistemas de equações] Como se chegar a estas constantes?

por **Wilson de Andrade** » Dom Mar 11, 2012 16:08

Uma curva de deslocamento é formada por duas parábolas f(x) e g(x) com vértices $\left(0,0 \right)$ e $\left(\beta,h \right)$ , respectivamente, concordantes no ponto médio $x=\beta/2$ .
Sendo h o deslocamento máximo em y e $\beta$ a posição angular máxima do came no eixo x (uma volta completa, por exemplo $\left(\beta=2\pi \right)$ ).

Há duas equações do movimento:
No trecho $0\leq x \leq\beta/2$ (f(x));
e no trecho $\beta/2\leq x \leq\beta$ (g(x)).

No trecho $0\leq x \leq\beta/2$ $\Rightarrow$ $f(x)=a{x}^{2} (1)$
$a=\frac{y}{{x}^{2}}$
No instante $x=\frac{\beta}{2} \Rightarrow y=\frac{h}{2}$

Portanto: $a=\frac{2h}{{\beta}^{2}} (2)$

Substituindo (2) em (1): $f(x)=\frac{2h}{{\beta}^{2}}*{x}^{2}$

Derivando obtemos a equação da velocidade: $f'(x)=\frac{4h}{{\beta}^{2}}*x$
No instante $x=\frac{\beta}{2}$ a velocidade será máxima, portanto:

Já no trecho $\beta/2\leq x \leq\beta$ $\Rightarrow g(x)={ax}^{2}+bx+c$
Para a equação da velocidade: g'(x)=2ax+b

No instante $x=\beta \Rightarrow y=h$ , então: $h={ax}^{2}+bx+c (3)$ .
Ao mesmo tempo que no instante $x=\beta \Rightarrow g'(x)=0$
Portanto: 0=2ax+b(4)

No instante $x=\frac{\beta}{2}$ a velocidade também será máxima, portanto:

Ou seja, $\frac{2h}{\beta}=2ax+b(5)$

Resolvendo simultaneamente as equações (3), (4) e (5), o autor obtem os seguintes valores para as constantes a, b e c:
$a=-\frac{2h}{{\beta}^{2}}$

$b=\frac{4h}{\beta}$

c=-h

Esta é minha dificuldade, entender como o autor resolveu o sistema para encontrar a,b e c, obtendo as equações definitivas:
$g(x)=h\left[1-2{\left(1-\frac{x}{\beta} \right)}^{2} \right]$

$g'(x)=\frac{4h}{\beta}\left(1-\frac{x}{\beta} \right)$

Obrigado.

por **Wilson de Andrade** » Seg Mar 12, 2012 00:13

Enquanto postava esta dúvida fui organizando meu raciocínio, e acho que consegui resolver uma parte:

Igualando a equação (5) a zero, $\frac{2h}{\beta}=2ax+b$ , indicando que

no instante $x=\frac{\beta}{2}$ :

$2a\left(\frac{\beta}{2} \right)+b-\frac{2h}{\beta}=0\Rightarrow\frac{2a{\beta}^{2}+2\beta b-4h}{2\beta}=0$

ou $\frac{2\beta\left(a\beta+b \right)-4h}{2\beta}=0$

$a\beta+b=\frac{4h}{2\beta}$ . Isolando b: $b=\frac{2h}{\beta}-a\beta$ .

Substiuindo b na equação (4), que se trata da derivada de g(x) no instante $x=\beta\Rightarrow g'(x)=0$ :

2ax+b=0

$\Rightarrow b=-2a\beta$

$\frac{2h}{\beta}-a\beta=-2a\beta$

$\frac{2h}{\beta}=-2a\beta+a\beta\Rightarrow \frac{2h}{\beta}=-a\beta$

Portanto, $a=-\frac{2h}{{\beta}^{2}}$ .

Substituindo a no valor de b:

$b=\frac{2h}{\beta}-a\beta$

$\Rightarrow b=\frac{2h}{\beta}-\left(-\frac{2h}{{\beta}^{2}} \right)\beta$

$\Rightarrow b=\frac{2h}{\beta}+\frac{2h}{\beta}$

Portanto, $b=\frac{4h}{\beta}$

Substituindo a e b na equação (3) para obter c:

$h={ax}^{2}+bx+c$ , no instante $x=\beta$

$h={a\beta}^{2}+b\beta+c$

Isolando c: $c=h-{a\beta}^{2}-b\beta$

$c=h-{\left( -\frac{2h}{{\beta}^{2}} \right)\beta}^{2}-\left(\frac{4h}{\beta} \right)\beta$

$\Rightarrow c=h+2h-4h$

Portanto, c=-h

.

Acho que é isso. Agora, fatorar a equação definitiva $g(x)=-\frac{2h{x}^{2}}{{\beta}^{2}}+\frac{4hx}{\beta}-h$

para ela ficar $g(x)=h\left[1-2{\left(1-\frac{x}{\beta} \right)}^{2} \right]$ eu não sei fazer, sou péssimo em fatoração...
Valeu.

por **LuizAquino** » Seg Mar 12, 2012 01:23

Wilson de Andrade escreveu:Agora, fatorar a equação definitiva $g(x)=-\frac{2h{x}^{2}}{{\beta}^{2}}+\frac{4hx}{\beta}-h$

para ela ficar $g(x)=h\left[1-2{\left(1-\frac{x}{\beta} \right)}^{2} \right]$ eu não sei fazer, sou péssimo em fatoração...

Note que:

$g(x)=-\dfrac{2h{x}^{2}}{{\beta}^{2}}+\dfrac{4hx}{\beta}-h$

$g(x)=h\left(-\dfrac{2{x}^{2}}{{\beta}^{2}}+\dfrac{4x}{\beta}-1\right)$

$g(x)=h\left[-2\left(\dfrac{{x}^{2}}{{\beta}^{2}}-\dfrac{2x}{\beta}\right)-1\right]$

$g(x)=h\left\{-2\left[\left(1 - \dfrac{x}{\beta}\right)^2 - 1\right]-1\right\}$

$g(x)=h\left[-2\left(1 - \dfrac{x}{\beta}\right)^2 + 2 - 1\right]$

$g(x)=h\left[-2\left(1 - \dfrac{x}{\beta}\right)^2 + 1\right]$

$g(x)=h\left[1 - 2\left(1 - \dfrac{x}{\beta}\right)^2\right]$

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