Como integrar esta função?

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Como integrar esta função?

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Como integrar esta função?

Mensagempor Ibraim » Ter Mar 06, 2012 17:19

Boa tarde pessoal. Sou novo no fórum, qualquer problema com o tópico, por favor me avisem.
Necessito integrar a função da velocidade de um corpo em um fluido viscoso. Fazendo os cáculos, chegamos na seguinte equação: Imagem

Ele chega na seguinte equação:

Imagem

Porém preciso saber como ele fez isto. Se alguém puder ajudar, agradeço!

Obrigado!
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Re: Como integrar esta função?

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mar 06, 2012 17:40

Aqui estão os passos:

\frac{dx}{dt} = - \frac{2 \rho g x_0^{\frac{2}{3}} R^2}{9 \eta x^{\frac{2}{3}}},

daí multiplique por x^{\frac{2}{3}} e coloque dt do lado direito. Logo:

x^{\frac{2}{3}} \, dx = \frac{2 \rho g x_0^{\frac{2}{3}} R^2}{9 \eta} \, dt.

Basta integrar. Como no lado direito a variável t não aparece, o resto é considerado constante e é colocado fora da integral.
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Re: Como integrar esta função?

Mensagempor Ibraim » Ter Mar 06, 2012 19:00

Perfeito! Consegui chegar no mesmo resultado, parecia complicado mas era simples.

Obrigado!!!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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