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Séries convergentes/divergentes

Séries convergentes/divergentes

Mensagempor Beatriz4 » Qua Fev 29, 2012 20:23

Boa noite, estou a tentar resolver uns problemas de analise matemática mas estou com um pouco de dificuldade em encontrar o resultado final.

Os problema são sobre séries. Os enunciados são os seguintes:

"Determine o termo geral da seguinte série: 3/2+(3*5)/(2*4)+(3*5*7)/(2*4*6)+... "

ainda não adiantei muito do problema, só cheguei ainda a uma conclusão simples, precisava de uma ajudita...
a solução deve ter por base qualquer coisa como o somatório de n=1 ate infinito dos termos dados pela expressao (2n+1)/(2n)

"Seja x \in R. Qual a condição necessária e suficiente sobre x para que a série \sum_{k=0}^{\infty} {x}^{k} seja convergente? No caso em que a série é convergente, encontre a sua soma."

Estava a pensar assumir que x deveria ser igual a 0 para a série ser convergente, mas não tenho a certeza.

Desde já obrigada a quem responder à minhas dúvidas =)
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Re: Séries convergentes/divergentes

Mensagempor MarceloFantini » Qua Fev 29, 2012 22:29

Perceba que os números seguem

\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \ldots + \frac{3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} + \ldots,

assim o termo geral parece um pouco complicado para a série como um todo.

Para a segunda, lembre-se da progressão geométrica, ou série geométrica. Se já tiver aprendido, a resposta é direta.
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Re: Séries convergentes/divergentes

Mensagempor nietzsche » Qua Fev 29, 2012 22:44

Beatriz4,
está certo o fato de que se x for igual a zero a série converge. Geralmente nesses problemas pra se analisar se a série converge para alguns valores de x, é comum analisar o que acontece em alguns intervalos como:
0<x<1
-1<x<0
x>1
x<-1
Além disso, para x = 1 ou se x=0.
Tente analisar seu problema para esses 6 casos e poste o que conseguiu.

Um site bacana sobre o assunto, incluindo outros assuntos de análise é:
http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/series.html
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Re: Séries convergentes/divergentes

Mensagempor Beatriz4 » Seg Mar 05, 2012 21:51

Caro MarceloFantini,

o resultado não pode ser \frac{3}{2}+\frac{3*5}{2*4}+\frac{3*5*7}{2*4*6}+...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)!}{(2n)!} pois não?

Quanto ao segundo exercício, obrigada pela dica, já percebi :)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.