Séries convergentes/divergentes

por **Beatriz4** » Qua Fev 29, 2012 20:23

Boa noite, estou a tentar resolver uns problemas de analise matemática mas estou com um pouco de dificuldade em encontrar o resultado final.

Os problema são sobre séries. Os enunciados são os seguintes:

"Determine o termo geral da seguinte série: 3/2+(3*5)/(2*4)+(3*5*7)/(2*4*6)+... "

ainda não adiantei muito do problema, só cheguei ainda a uma conclusão simples, precisava de uma ajudita...
a solução deve ter por base qualquer coisa como o somatório de n=1 ate infinito dos termos dados pela expressao (2n+1)/(2n)

"Seja $x \in R$ . Qual a condição necessária e suficiente sobre x para que a série $\sum_{k=0}^{\infty} {x}^{k}$ seja convergente? No caso em que a série é convergente, encontre a sua soma."

Estava a pensar assumir que x deveria ser igual a 0 para a série ser convergente, mas não tenho a certeza.

Desde já obrigada a quem responder à minhas dúvidas =)

por **MarceloFantini** » Qua Fev 29, 2012 22:29

Perceba que os números seguem

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \ldots + \frac{3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n)} + \ldots,$

assim o termo geral parece um pouco complicado para a série como um todo.

Para a segunda, lembre-se da progressão geométrica, ou série geométrica. Se já tiver aprendido, a resposta é direta.

por **nietzsche** » Qua Fev 29, 2012 22:44

Beatriz4,
está certo o fato de que se x for igual a zero a série converge. Geralmente nesses problemas pra se analisar se a série converge para alguns valores de x, é comum analisar o que acontece em alguns intervalos como:
0<x<1
-1<x<0
x>1
x<-1
Além disso, para x = 1 ou se x=0.
Tente analisar seu problema para esses 6 casos e poste o que conseguiu.

Um site bacana sobre o assunto, incluindo outros assuntos de análise é:
http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/series.html

por **Beatriz4** » Seg Mar 05, 2012 21:51

Caro MarceloFantini,

o resultado não pode ser $\frac{3}{2}+\frac{3*5}{2*4}+\frac{3*5*7}{2*4*6}+...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)!}{(2n)!}$ pois não?

Quanto ao segundo exercício, obrigada pela dica, já percebi