Equação da circunferência

por **PedroSantos** » Dom Jan 09, 2011 16:38

A equação reduzida da circunferência no plano é dada por

${r}^{2}={(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}$

em que (a,b) é o centro da circunferência.

Questão:

Dada uma circunferência no plano, com raio igual a 3 e um ponto P pertencente à circunferência de coordenadas $\left( \frac{9}{2},\frac{1}{2}\right)$ , calcule o par ordenado correspondende ao centro da circunferência.

Eu ainda comecei por aplicar a equação, mas perante duas variáveis ( a e b), concluí rapidamente que existem inúmeras soluções.
Existe um número ilimitado de circunferências, que tendo r=3, passam pelo ponto P.

Estarei correcto?

por **MarceloFantini** » Dom Jan 09, 2011 22:34

Concordo, você só terá uma equação e duas incógnitas.

por **Pedro123** » Seg Jan 10, 2011 14:55

Pedro, seguinte, pelo o que eu entendi do problema, concordo com vc, havéra um número infinito de pontos, porém, não são pontos aleatórios, serão pontos que pertencerão à uma circunferência também, tente desenvolver a equação com os pontos dados, vc chegará à equação de uma circunferência.

abraços

por **Guill** » Sáb Fev 25, 2012 12:18

Considere uma circunferência de raio r. Sua equação é dada por:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

, onde (a ; b) representa as coordenadas do centro dessa circunferência.

No caso da sua circunferência, teríamos um raio r = 3 e as coordenadas $\left(\frac{9}{2} ; \frac{1}{2} \right)$ , que pertencem à circunferência:

$(\frac{9}{2} - a)^2 + (\frac{1}{2} - b)^2 = 9$

$\frac{81}{4} - 9a + a^2 + \frac{1}{4} - b + b^2 = 9$

$a^2 + b^2 - 9a - b = \frac{18}{2} - \frac{41}{2}$

2a^2 - 18a + (2b^2 - 2b + 23) = 0

Desenvolvendo essa equação quadrática, teremos o valor a em função de b, No entanto, calcularemos os valores do delta para encontrar os valores possíveis de b:

$324 - 8b^8 + 8b - 92 \geq 0 232 - 8b^8 + 8b \geq 0 b^2 - b - 29 \leq$

$b = \frac{-1 + \sqrt[]{117}}{2}$
$b = \frac{-1 - \sqrt[]{117}}{2}$

Dessa forma, o valor de y do centro da circunferência varia entre esses dois valores. Temos, portanto, infinitas circunferências. Se quer imaginar porque isso acontece, basta escolher uma circunferência de raio 3 que possui esse ponto e arrastar ela sem tirar o ponto da superfície. O mais interessante é que o centro faz uma circunferência com esse movimento.

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