[Equação diferencial] Problema de valor inicial

por **Aliocha Karamazov** » Qua Fev 15, 2012 23:34

Pessoal, o exercício é o sequinte. E segue, abaixo, minha tentativa.

Resolva o problema de valor inicial.
$ty\prime+2y=4t^2$
y(1)=2

Eu comeceu divindo tudo por t:

$y\prime +\frac{2y}{t}=4t$

Agora, preciso encontrar o fator integrante, que é a função $\mu(t)$ . Como está no livro, é preciso multiplica a equação por $\mu(t)$ , o que dá:

$\mu(t)y\prime +\mu(t)\frac{2y}{t}=\mu(t)4t$

Agora, eu preciso encontrar uma função $\mu(t)$ tal que $[\mu(t)y]\prime=\mu(t)y\prime+\mu\prime(t)y=\mu(t)y\prime +\mu(t)\frac{2y}{t}$

Bem, isso se resume a encontrar $\mu(t)$ tal que

$\frac{du(t)}{dt}=\mu(t)\frac{2}{t}$ . Eu fiz dessa maneira:

$\frac{d\mu(t)/dt}{\mu(t)}=\frac{2}{t}$

Como $ln|\mu(t)|=\frac{d\mu(t)/dt}{\mu(t)}$ , temos que $ln|\mu(t)|=\frac{2}{t} \Rightarrow \mu(t)=e^{\frac{2}{t}$

No entanto, no livro, está que $\mu(t)=t^2$

Alguém poderia me ajudar, dizendo onde e por que errei? Agradeço desde já.

por **MarceloFantini** » Qui Fev 16, 2012 01:42

Seu erro está aqui: $\frac{d \mu(t) dt}{\mu(t)} = 2 \frac{1}{t} \implies \ln |\mu(t)| = 2 \frac{t}$ . Você deve colocar

do outro lado e integrar os dois lados da equação, não apenas um. Veja:

$\frac{d \mu(t)}{\mu(t)} = 2 \frac{dt}{t} \implies \int \frac{d \mu(t)}{\mu(t)} = 2 \int \frac{dt}{t} \implies \ln |\mu(t)| = 2 \ln |t| =$
$= \ln t^2$ .

Daí, $\mu(t) = t^2$ . Acredito que esteja faltando uma constante também.