[Geometria Plana - Triângulo] Triângulo Isós. e Bissetriz

por **raimundoocjr** » Qua Fev 22, 2012 09:41

01. (UFMG) Nessa figura tem-se AB=AC=6, BC=BD=4 e C Imagem

Q=Q

D. A tangente do ângulo C Imagem

Q é:
a) $\sqrt[]{2}/4$
b) $\sqrt[]{2}/2$
c) $\frac{1+\sqrt[]{2}}{2}$
d) $\frac{\sqrt[]{2}-1}{2}$
Imagem

Tentativa de Resolução;
Já tentei Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer através da divisão do triângulo em dois outros triângulos de base 2 (metade de BC), além disso já observei as propriedades dos triângulos isósceles formados. Mas, não encontrei solução ainda.
Gabarito: A
02. (Adaptado) Nas figuras abaixo, determine o valor de x.
a) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
Imagem

Tentativa de Resolução;
Busquei usar a ideia do ângulo externo ser a soma dos ângulos internos não adjacentes. Mas, os 72° dados não formam um "ângulo completo" do triângulo.
Gabarito: 18°
b) Imagem

Tentativa de Resolução;
Está descrita em vermelho na imagem.
Gabarito: 40º/3

por **Guill** » Sex Fev 24, 2012 23:06

O triâgulo BCD é isósceles e o segmento BQ é a sua bissetriz, e, portanto, sua altura. Desa maneira, temos um ângulo de 90º, nos dando um triângulo retângulo.
Agora, podemos traçar a altura do triângulo ABC relativa à base BC. Temos um outro trângulo retângulo de lados 2 e 6, e a altura vale h:

h² + 2² = 6²

h = $4.\sqrt[]{2}$

Portanto, a tangente do ângulo bCq

é dada por:

tg = $2.\sqrt[]{2}$

Como a tangente progurada é a cotangente desse ângulo:

tg = $\frac{1}{2.\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{4}$

por **DanielFerreira** » Sáb Fev 25, 2012 01:32

raimundoocjr escreveu:(Adaptado) Nas figuras abaixo, determine o valor de x.
a) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

Tentativa de Resolução;
Busquei usar a ideia do ângulo externo ser a soma dos ângulos internos não adjacentes. Mas, os 72° dados não formam um "ângulo completo" do triângulo.
Gabarito: 18°

Considere o vértice do triângulo como ponto A, a esquerda B e na direita C. Considere também a = 40°, ou seja, Â = a + a ===> Â = 80°.

Podemos resolver pela ideia do ângulo externo sim! Veja:
72º = a + b
72º = 40º + b
b = 32º

Portanto,
B = 2b
B = 64º

Sabemos...
A + B + C = 180º =======> (a + a) + (b + b) + (x + x) = 180º
80º + 64º + (x + x) = 180º
2x = 180º - 144º
2x = 36º
x = 18º