Matriz

por **Claudin** » Seg Fev 13, 2012 17:58

Classi?que cada uma das a?rmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo.
(a) Se A e B são matrizes n × n tais que det(AB) = 0 ent˜ao A ´e singular ou B ´e
singular(não invertível).
(b) Para quaisquer matrizes A e B n × n vale: det(A + B) = det(A) + det(B).
(c) Se AB = 0 então A = 0 ou B = 0.
(d) Se A, B e AB são simétricas então AB = BA. (Lembre-se: uma matriz A é dita
simétrica se transposta de A = A.)

Consegui encontrar letra D - Verdadeiro, porém não to conseguindo provar para todas as matrizes
Letra C - Como falso.

Gostaria de explicação para A e B
Se possível provando ou dando contra exemplo pra ajudar no entendimento.

por **LuizAquino** » Seg Fev 13, 2012 18:19

Claudin escreveu:Classi?que cada uma das a?rmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo.

Claudin escreveu:(a) Se A e B são matrizes n × n tais que det(AB) = 0 então A é singular ou B é singular (não invertível).

Verdadeiro.

Para justificar, lembre-se da propriedade dos determinantes que diz:

$\det (AB) = (\det A)(\det B)$

Tente terminar usando essa informação.

Claudin escreveu:(b) Para quaisquer matrizes A e B n × n vale: det(A + B) = det(A) + det(B).

Falso.

Basta escolher duas matrizes e comparar o valor de det(A+B) com det(A) + det(B).

Por exemplo, escolha $A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ .

Agora faça os cálculos.

Claudin escreveu:(c) Se AB = 0 então A = 0 ou B = 0.

Falso.

Basta escolher duas matrizes não nulas, mas que AB seja nulo.

Por exemplo, escolha $A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 2 & 0\end{bmatrix}$ .