Limities sucessões

por **matpet92** » Qui Fev 02, 2012 22:13

Boa noite!
Gostaria de saber como calcular limites de sucessões definidas por recorrência...
Abraço,
Pedro Oliveira

por **MarceloFantini** » Sex Fev 03, 2012 05:02

Pedro, qual é o enunciado da questão?

por **matpet92** » Sáb Fev 04, 2012 14:21

O enunciado apresenta uma sucessão definida por recorrência e diz:
Primeiro termo da sucessão (Un) é igual a raiz quadrada(2).
Também que o termo seguinte pode ser obtido pelas raiz quadrada(2Un),ou seja,Un+1=raiz quandrada 2Un.

E a questão é: Calcule o limite da sucessão.

Obrigado pela atenção,
Pedro Oliveira.

por **LuizAquino** » Dom Fev 05, 2012 00:56

matpet92 escreveu:O enunciado apresenta uma sucessão definida por recorrência e diz:
Primeiro termo da sucessão (Un) é igual a raiz quadrada(2).
Também que o termo seguinte pode ser obtido pelas raiz quadrada(2Un),ou seja,Un+1=raiz quandrada 2Un.

E a questão é: Calcule o limite da sucessão.

Há duas formas de resolver o exercício.

Resolução 1)

Primeiro, note que essa sequência é crescente. Calcule alguns termos para perceber isso.

Suponha agora que essa sequência seja convergente para um número L.

Devemos ter então $\lim_{n\to +\infty} u_n = L$ .

Ora, mas se ela é convergente para L, então também devemos ter $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1} = L$ .

Sendo assim, temos que:

$\lim_{n\to +\infty} u_{n+1} = L$

$\lim_{n\to +\infty} \sqrt{2u_{n}} = L$

$\sqrt{2 \lim_{n\to +\infty} u_{n}} = L$

$\sqrt{2 L} = L$

2 L = L^2

Obtemos então que L = 2 ou L = 0. Entretanto, como a sequência é crescente (e começa em $\sqrt{2}$ ), concluímos que L = 2.

Resolução 2)

Primeiro determine uma fórmula direta (isto é, explícita) para $u_{n}$ .

Note que:

$u_1 = \sqrt{2} = \sqrt{2}$

$u_2 = \sqrt{2u_1} = \sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2^3}$

$u_3 = \sqrt{2u_2} = \sqrt{2\sqrt[4]{2^3}} = \sqrt[8]{2^7}$

$u_4 = \sqrt{2u_3} = \sqrt{2\sqrt[8]{2^7}} = \sqrt[16]{2^{15}}$

(...)

$u_n = \sqrt[2^n]{2^{2^n - 1}}$

Agora, calcule o limite dessa sequência.

$\lim_{n\to +\infty} u_{n} = \lim_{n\to +\infty} \sqrt[2^n]{2^{2^n - 1}}$

$= \lim_{n\to +\infty} 2^{\frac{2^n - 1}{2^n}}$

$= \lim_{n\to +\infty} 2^{1 - \frac{1}{2^n}}$

$= 2^{1 - 0} = 2$