Progressão Geométrica

por **Aparecida** » Sex Fev 03, 2012 21:09

Um plano fica dividido em duas regiões quando traçamos uma reta (contida nesse plano). Se traçarmos duas retas nesse plano podemos dividi-lo, em no máximo, 4 regiões, com três retas podemos determinar, no máximo, 7 regiões.

a) (1,0) Complete a tabela:
Retas no plano 1 2 3 4 5 6 7
Quantidade máxima de
regiões obtidas 2 4 7

b) (1,5) Escreva a fórmula de recorrência da sequência que fornece a quantidade máxima de regiões, an, que podem ser obtidas com n retas, explique seu raciocínio.

A fórmula geral, que fornece a quantidade máxima de regiões para n retas é dada por: , onde n é a quantidade de retas e an é a quantidade máxima de regiões.

c) (1,0) Verifique se essa fórmula está de acordo com os valores da tabela do item 'a', deixe seus cálculos registrados como justificativa.

Por favor alguem pode me ajudar a resolver?
Queria uma explicação, pois nao consigo entender esse conteudo.

por **Rosana Vieira** » Sáb Fev 04, 2012 13:08

Aparecida também estou com dúvida para resolver estes exercícios

por **natalia_cristina** » Sáb Fev 04, 2012 16:58

Olá td bm?
Também não consegui entender esse exercicio e não estou conseguindo fazer a letra d do primeiro.
Vcs poderiam me dar uma dica?

por **fraol** » Sáb Fev 04, 2012 20:52

Num plano:

1) Quando traçamos uma reta, esta o divide em, no máximo, 2 regiões
=> a_1 = 2

.

2) Quando traçamos duas retas, concorrentes, estas o divide em, no máximo, 4 regiões
$=> a_2 = 4 \iff a_2 = a_1 + 2$

3) Quando traçamos três retas, concorrentes e dispostas convenientemente, estas o divide em, no máximo, 7 regiões $=> a_3 = 7 \iff a_3 = a_2 + 3$ .

Bom, isso foi dado no enunciado, mas se continuarmos esse raciocínio, veremos que o padrão se repete, isto é, quando adicionamos uma enésima reta, concorrente às já existentes e disposta de forma conveniente para obtermos o máximo de regiões possíveis, esta nova reta ( reta n ) adiciona n novas regiões às existentes. Assim dá para vocês preencherem a tabela pedida no item 1.

O item 2 está explicitado nos exemplos acima, ou seja a fórmula de recorrência é dada por $a_n = a_{n-1} + n$ . Já a quantidade máxima de regiões para n retas é data por $N = \frac{n(n+1)}{2} + 1$ ( para provar essa relação pode-se usar Indução Finita ) .

O item 3 , esse ficou moleza, é só aplicar as fórmulas, calcular e faturar o precioso pontinho.

por **Rosana Vieira** » Seg Fev 06, 2012 02:17

fraol escreveu:Num plano:

1) Quando traçamos uma reta, esta o divide em, no máximo, 2 regiões
.

2) Quando traçamos duas retas, concorrentes, estas o divide em, no máximo, 4 regiões
$=> a_2 = 4 \iff a_2 = a_1 + 2$

3) Quando traçamos três retas, concorrentes e dispostas convenientemente, estas o divide em, no máximo, 7 regiões $=> a_3 = 7 \iff a_3 = a_2 + 3$ .

Bom, isso foi dado no enunciado, mas se continuarmos esse raciocínio, veremos que o padrão se repete, isto é, quando adicionamos uma enésima reta, concorrente às já existentes e disposta de forma conveniente para obtermos o máximo de regiões possíveis, esta nova reta ( reta n ) adiciona n novas regiões às existentes. Assim dá para vocês preencherem a tabela pedida no item 1.

O item 2 está explicitado nos exemplos acima, ou seja a fórmula de recorrência é dada por $a_n = a_{n-1} + n$ . Já a quantidade máxima de regiões para n retas é data por $N = \frac{n(n+1)}{2} + 1$ ( para provar essa relação pode-se usar Indução Finita ) .

Fraol
Obrigado pela dica para a resolução do exercício 2, mas quero ajuda para iniciar o exercicio 1, pois está dificil

O item 3 , esse ficou moleza, é só aplicar as fórmulas, calcular e faturar o precioso pontinho.