Radicais

por **Andrewo** » Qua Fev 01, 2012 13:43

Dae galerê, de novo c radicais, é chato mas eu não posso deixar passar , pq se eu não for capaz de resolver uma quantidade grande de exercícios de um só assunto ,penso que não adianta nada.

Racionalize : $\frac{1}{2 + \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}$

Tentei fazer como se fosse uma diferença de quadrados assim : $\frac{1}{2 + \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}} . \frac{2 - \left( \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6} \right)}{2 - \left( \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6} \right)}$

Mas acho que está errado, não consegui fazer a partir daí.

Resposta : $\frac{1+\sqrt[]{2}-\sqrt[]{3}}{4}$

2) $\left( 4\sqrt[]{8} - 2\sqrt[]{18} \right) : \sqrt[3]{2}$

Tentei racionalizar a expressão com a forma fatorada do numerador : $\frac{\left( 4.2\sqrt[]{2} - 2.3\sqrt[]{2} \right)}{\sqrt[3]{2}} . \frac{\sqrt[3]{{2}^{2}}}{\sqrt[3]{{2}^{2}}}$

Mas o resultado deu outra maçaroca

Resposta $2\sqrt[6]{2}$

3) $\sqrt[3]{3}.\left(\sqrt[3]{9} -2\sqrt[3]{3} - 5 \right) - \sqrt[3]{9}.\left(\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} - 2 \right)$

tentei aplicar distributiva(não sei nem se isso é permitido nessa expressão) mas não cheguei a lugar algum.

Reposta : $-\sqrt[3]{3}$

4)Determine o nº a que satisfaz a expressão:

$\frac{2}{\sqrt[]{98}} - \frac{2}{\sqrt[]{32}} = a\sqrt[]{2}$

Nessa eu não faço a menor idéia de como proceder

$-\frac{3}{28}$

5) $\frac{\sqrt[]{3}+1}{\sqrt[]{3}-1} + \frac{\sqrt[]{3}-1}{\sqrt[]{3}+1}$

Tbm não destrinchei

Resultado : 4

6) ${\left( \sqrt[]{\sqrt[3]{2\sqrt[]{2}}} \right)}^{8}$

Nesta eu tentei fazer o seguinte : $\sqrt[6]{2\sqrt[]{{2}^{8}}}$

= $\sqrt[6]{2\sqrt[]{256}}$ = $\sqrt[6]{2.16}}$ = $\sqrt[6]{32}}$

E trava aí

A resposta desse exercício é 4

por **LuizAquino** » Qua Fev 01, 2012 14:20

Andrewo escreveu:Racionalize : $\frac{1}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Comece fazendo:

$\frac{1}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{1\cdot \left[\left(2+\sqrt{2} - \sqrt{6}\right)\right]}{\left[\left(2 + \sqrt{2}\right) + \sqrt{6}\right]\cdot \left[\left(2+\sqrt{2}\right) - \sqrt{6}\right]}$

Agora tente terminar.

Andrewo escreveu:2) $\left( 4\sqrt{8} - 2\sqrt{18} \right) : \sqrt[3]{2}$

Comece transformando todos os radicais para o mesmo índice 6.

Andrewo escreveu:3) $\sqrt[3]{3}.\left(\sqrt[3]{9} -2\sqrt[3]{3} - 5 \right) - \sqrt[3]{9}.\left(\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} - 2 \right)$

Comece aplicando a distributiva (como você mesmo já disse).

Andrewo escreveu:4)Determine o nº a que satisfaz a expressão:

$\frac{2}{\sqrt{98}} - \frac{2}{\sqrt{32}} = a\sqrt{2}$

Comece racionalizando os denominadores que aparecem no lado direito. Após fazer todas as simplificações, você verá que nesse lado sobrará apenas $-\frac{3}{28}\sqrt{2}$ . Se no lado direito sobrará isso, então fica fácil você deduzir quanto deve valer a que aparece no lado esquerdo.

Andrewo escreveu:5) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Comece efetuando a soma dessas frações. Ou seja, você terá que:

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) + \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt[]{3}+1\right)}$

Andrewo escreveu:6) ${\left(\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} \right)}^{8}$

Comece percebendo que:

${\left(\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} \right)}^{8} = {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}} \right)}^{8}$

Em seguida, lembre-se da propriedade:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

Observação

Por questão de organização do fórum, nós recomendamos que em cada tópico haja apenas um exercício.

Além disso, vale lembrar que não é objetivo do fórum resolver listas de exercício.

por **Andrewo** » Qui Fev 02, 2012 12:03

LuizAquino escreveu:
Comece percebendo que:

${\left(\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} \right)}^{8} = {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{8}}} \right)}^{8}$

Em seguida, lembre-se da propriedade:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

Não percebo, pq o $2\sqrt[]{2}$ se transformou em $\sqrt[]{8}$

LuizAquino escreveu:Observação

Por questão de organização do fórum, nós recomendamos que em cada tópico haja apenas um exercício.

Além disso, vale lembrar que não é objetivo do fórum resolver listas de exercício.

Minha intenção não é que façam listas de exercícios pra mim e sim aprender e tirar dúvidas.Mas de qualquer forma vou tentar limitar o máximo os problemas que eu postar aqui.

:y:

por **LuizAquino** » Qui Fev 02, 2012 13:42

Andrewo escreveu:Não percebo, pq o $2\sqrt{2}$ se transformou em $\sqrt{8}$

Note que:

$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{8}$

Andrewo escreveu:Minha intenção não é que façam listas de exercícios pra mim e sim aprender e tirar dúvidas. Mas de qualquer forma vou tentar limitar o máximo os problemas que eu postar aqui.

Você não precisa se preocupar em limitar o número de exercícios que você irá postar. Apenas procure enviar um exercício por tópico.

Além disso, ao enviar um exercício você pode fazer como você fez nesse tópico: indicar as suas tentativas e informar exatamente onde está a sua dúvida. Isso é muito bom, pois indica que você quer tirar dúvidas e não simplesmente ter o exercício resolvido.

por **Arkanus Darondra** » Qui Fev 02, 2012 13:43

Andrewo escreveu:Não percebo, pq o $2\sqrt[]{2}$ se transformou em $\sqrt[]{8}$

Note que $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2}\sqrt{2}=\sqrt{2^2.2} = \sqrt{8}$
O inverso, obviamente, também é válido. Para isso, basta fatorar o 8.

por **Andrewo** » Ter Fev 07, 2012 14:53

To com mta dificuldade nesses exercícios.

LuizAquino escreveu:
Andrewo escreveu:Racionalize : $\frac{1}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Comece fazendo:

$\frac{1}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{1\cdot \left[\left(2+\sqrt{2} - \sqrt{6}\right)\right]}{\left[\left(2 + \sqrt{2}\right) + \sqrt{6}\right]\cdot \left[\left(2+\sqrt{2}\right) - \sqrt{6}\right]}$

Agora tente terminar.

Fiz essa, o resultado saiu parecido, mas não o mesmo, vejam se tá errado:

$\frac{2+\sqrt[]{2}-\sqrt[]{6}}{{\left(2+\sqrt[]{2} \right)}^{2} - {\sqrt[]{6}}^{2}}$

= $\frac{2+\sqrt[]{2}-\sqrt[]{6}}{\left(4+4\sqrt[]{2}+2 \right)- 6}$

= $\frac{2+\sqrt[]{2}-\sqrt[]{6}}{4\sqrt[]{2}} . \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}$

= $\frac{\sqrt[]{2}\left(2+\sqrt[]{2}-\sqrt[]{6} \right)}{8}$

Aqui dividi o 2 e o 8 por 2 \/

= $\frac{2\sqrt[]{2} + \sqrt[]{4} - \sqrt[]{12}}{8}$

= $\frac{1\sqrt[]{2} + 2 - 2\sqrt[]{3}}{4}$

o 1 aqui nao ficou somando e sim multiplicando

= $\frac{1\sqrt[]{2} +\sqrt[]{3}}{4}$

Andrewo escreveu:2) $\left( 4\sqrt{8} - 2\sqrt{18} \right) : \sqrt[3]{2}$

Comece transformando todos os radicais para o mesmo índice 6.

$\frac{4\sqrt[6]{{8}^{3}}- 2\sqrt[6]{{18}^{3}}}{\sqrt[6]{{2}^{2}}}$

Mas e agora, parceiro?

Andrewo escreveu:3) $\sqrt[3]{3}.\left(\sqrt[3]{9} -2\sqrt[3]{3} - 5 \right) - \sqrt[3]{9}.\left(\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} - 2 \right)$

Comece aplicando a distributiva (como você mesmo já disse).

Bom, aplicando a distributiva deu isso:

$\left(\sqrt[3]{27}-2\sqrt[3]{9}+5 \right) - \left(\sqrt[3]{27}+2\sqrt[3]{81}-2 \right)$

= $\left(3 -2\sqrt[3]{9}+5 \right) - \left(3 - 2\sqrt[3]{81} - 2 \right)$

Aqui travou

Andrewo escreveu:4)Determine o nº a que satisfaz a expressão:

$\frac{2}{\sqrt{98}} - \frac{2}{\sqrt{32}} = a\sqrt{2}$

Comece racionalizando os denominadores que aparecem no lado direito. Após fazer todas as simplificações, você verá que nesse lado sobrará apenas $-\frac{3}{28}\sqrt{2}$ . Se no lado direito sobrará isso, então fica fácil você deduzir quanto deve valer a que aparece no lado esquerdo.

Andrewo escreveu:5) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Comece efetuando a soma dessas frações. Ou seja, você terá que:

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) + \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt[]{3}+1\right)}$

Essas duas contas eu tive que desistir delas :s

por **LuizAquino** » Ter Fev 07, 2012 18:28

Andrewo escreveu:Aqui dividi o 2 e o 8 por 2 \/

$= \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{12}}{8}$

$= \frac{1\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{3}}{4}$

Aqui está o erro.

O correto seria:

$= \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{12}}{8}$

$= \frac{2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{3}}{8}$

$= \frac{\left(2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{3}\right):2}{8:2}$

$= \frac{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{3}}{4}$

Andrewo escreveu: $\frac{4\sqrt[6]{{8}^{3}}- 2\sqrt[6]{{18}^{3}}}{\sqrt[6]{{2}^{2}}}$

Mas e agora, parceiro?

Note que:

$\frac{4\sqrt[6]{8^3}- 2\sqrt[6]{18^3}}{\sqrt[6]{2^2}} = \frac{4\sqrt[6]{8^3}}{\sqrt[6]{2^2}} - \frac{2\sqrt[6]{18^3}}{\sqrt[6]{2^2}} = 4\sqrt[6]{\frac{8^3}{2^2}} - 2\sqrt[6]{\frac{18^3}{2^2}}$

Agora continue.

Andrewo escreveu:Bom, aplicando a distributiva deu isso:

$\left(\sqrt[3]{27}-2\sqrt[3]{9}+5 \right) - \left(\sqrt[3]{27}+2\sqrt[3]{81}-2 \right)$

Aqui está errado.

O correto seria:

$\left(\sqrt[3]{27} -2\sqrt[3]{9} - 5\sqrt[3]{3} \right) - \left(\sqrt[3]{27} + 2\sqrt[3]{81} - 2\sqrt[3]{9} \right)$

Tente continuar a partir daí.

Andrewo escreveu:4) Determine o nº a que satisfaz a expressão:

$\frac{2}{\sqrt{98}} - \frac{2}{\sqrt{32}} = a\sqrt{2}$

5) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Andrewo escreveu:Essas duas contas eu tive que desistir delas :s

4) Note que:

$\frac{2}{\sqrt{98}} - \frac{2}{\sqrt{32}} = a\sqrt{2}$

$\frac{2}{\sqrt{2\cdot 49}} - \frac{2}{\sqrt{2^5}} = a\sqrt{2}$

$\frac{2}{7\sqrt{2}} - \frac{2}{4\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$

$\frac{2\sqrt{2}}{14} - \frac{2\sqrt{2}}{8} = a\sqrt{2}$

$\left(\frac{2}{14} - \frac{2}{8}\right)\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Agora tente terminar a partir daí.

5) Note que:

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) + \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$

$=\frac{\left[\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3} + 1^2\right] + \left[\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3} + 1^2\right]}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - 1^2}$

Tente continuar a partir daí.

por **Andrewo** » Qua Fev 08, 2012 11:44

LuizAquino escreveu:
Aqui está errado.

O correto seria:

$\left(\sqrt[3]{27} -2\sqrt[3]{9} - 5\sqrt[3]{3} \right) - \left(\sqrt[3]{27} + 2\sqrt[3]{81} - 2\sqrt[3]{9} \right)$

Tente continuar a partir daí.

Nessa conta eu fiquei meio na dúvida.

$\left(3-2\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3} \right) - \left(3+6\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} \right)$

O que poderia acontecer aqui é o sinal trocar na 2º expressão?????????? e ficar então:

$3-2\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3} -3 -6\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9}$

$+5\sqrt[3]{3}-6\sqrt[3]{3}$

$-\sqrt[3]{3}$

É isso?

5) Note que:

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right) + \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$

$=\frac{\left[\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3} + 1^2\right] + \left[\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3} + 1^2\right]}{\left(\sqrt{3}\right)^2 - 1^2}$

Tente continuar a partir daí.

Bom, veja se tá certo.

$\frac{\left(3+2\sqrt[]{3} +1 \right) + \left(3-2\sqrt[]{3}+1 \right)}{3-1}$

= $\frac{\left(4+2\sqrt[]{3} \right) + \left(4-2\sqrt[]{3}\right)}{2}$

= $\frac{8}{2}$ =

A minha dúvida nessa questão é : Pq numa soma de fração os numeradores se transformaram em quadrado da soma e quadrado da diferença e o numerador numa diferença de quadrados?

As outras contas eu consegui resolver

Vlwwww Aquino

:y:

por **LuizAquino** » Qua Fev 08, 2012 12:22

Andrewo escreveu:Nessa conta eu fiquei meio na dúvida.

$\left(3-2\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3} \right) - \left(3+6\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} \right)$

O que poderia acontecer aqui é o sinal trocar na 2º expressão?

A ideia é sim trocar o sinal. Mas confira as suas contas, pois no primeiro termo deve haver $-5\sqrt[3]{3}$ e não $5\sqrt[3]{3}$ como você escreveu.

Vale destacar que o valor de $\sqrt[3]{3}\left(\sqrt[3]{9} -2\sqrt[3]{3} - 5 \right) - \sqrt[3]{9}\left(\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} - 2 \right)$ é equivalente a $-11\sqrt[3]{3}$ .

Já o valor de $\sqrt[3]{3}\left(\sqrt[3]{9} -2\sqrt[3]{3} + 5 \right) - \sqrt[3]{9}\left(\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} - 2 \right)$ é equivalente a $-\sqrt[3]{3}$ .

Andrewo escreveu:Bom, veja se tá certo.

$\frac{\left(3+2\sqrt{3} +1 \right) + \left(3-2\sqrt{3}+1 \right)}{3-1}$

$= \frac{\left(4+2\sqrt{3} \right) + \left(4-2\sqrt{3}\right)}{2}$

$= \frac{8}{2} = 4$

Ok.

Andrewo escreveu:A minha dúvida nessa questão é : Pq numa soma de fração os numeradores se transformaram em quadrado da soma e quadrado da diferença e o numerador numa diferença de quadrados?

Isso não acontece em todas as somas de fração. Apenas nesse caso.

Imagine que você deseja calcular a soma:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

Resolvendo essa soma, obtemos:

$\frac{a^2 + b^2}{ab}$

Comparando com o exercício, temos que $a=\sqrt{3} + 1$ e $b=\sqrt{3} - 1$ .

Temos então que:

(i) a² será equivalente ao quadrado da soma: $\left(\sqrt{3} + 1\right)^2$ ;

(ii) b² será equivalente ao quadrado da diferença: $\left(\sqrt{3} - 1\right)^2$ ;

(iii) ab será equivalente ao produto da soma pela diferença: $\left(\sqrt{3} + 1\right)\left(\sqrt{3} - 1\right)$ .

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