[Limite]Definição precisa

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 01, 2012 13:58

Para o limite

$\lim_{x\rightarrow1}\left(4+x-3{x}^{3} \right)= 2$

Encontre os valores de $\delta$ que correspondam a $\varepsilon =0,5$ e $\varepsilon =0,1$

Não consigo resolver essa questão, eu paro em:

$1,5<4+x-3{x}^{3}<2,5$ Para $\varepsilon=0,5$

e

$1,9<4+x-3{x}^{3}<2,1$ Para $\varepsilon=0,1$

por **fraol** » Qua Fev 01, 2012 20:43

Da definição de limite temos:

Para todo $\epsilon > 0$ , existe um $\delta > 0$ tal que

Se $0 < \left|{x-1}\right| < \delta$ , então $\left|{(4+x-3x^3)-2}\right| < \epsilon$ .

Como foram dados $\epsilon = 0,5$ e $\epsilon = 0,1$ e, também, sabemos que o tal $\delta$ é em função de $\epsilon$ , então para simplificar escolha $\delta = \epsilon$ , ou seja
$\delta = 0,5$ e $\delta = 0,1$ respectivamente.

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 01, 2012 23:08

Não entendi.

por **fraol** » Qui Fev 02, 2012 00:03

Oi,

Aquela foi uma aproximação. Dá pra ser um pouco mais preciso pensando da seguinte forma:

Dar $\epsilon = 0.5$ significa dizer que na epsilon-vizinhança de 2, que é o limite, a função varia entre

$2 - \epsilon$ e $2 + \epsilon$ . Esta variação no valor da função deve-se ao fato de que x variou na vizinhança de 1 uma quantidade $\delta$ que é função do tal $\epsilon$ .

Vamos ver a álgebra dessa conversa:

$\epsilon = 0.5$ significa que a função variou entre 1,5 e 2,5. Pegando os extremos:

4 + x - 3x^3 = 2,5

então

cuja raiz real é aproximadamente 0,94

4 + x - 3x^3 = 1,5

então

cuja raiz real é aproximadamente 1,06

Isto quer dizer que x variou de 0.94 a 1.06 e portanto nosso $\delta = 0.6$ .

Raciocínio igual para o caso de $\epsilon = 0.1$ nos levará a $\delta = 0.1$ .

Anexo uma figura ilustrativa da ideia desse limite ( para o caso de $\delta = \epsilon = 0.5$ ).

: limite

por **Ana_Rodrigues** » Qui Fev 02, 2012 14:55

Eu sei como é.
Na verdade minha dúvida é achar a raiz, sem precisar usar uma ferramenta gráfica pra isso.
Em $1,5 + x - 3{x}^{3}=0$ , como eu acho a raiz?

por **ant_dii** » Qui Fev 02, 2012 21:43

Ana_Rodrigues escreveu:Eu sei como é.
Na verdade minha dúvida é achar a raiz, sem precisar usar uma ferramenta gráfica pra isso.
Em $1,5 + x - 3{x}^{3}=0$ , como eu acho a raiz?

Ana, você já estudou derivada??

Existe um método que retorna aproximações (que no caso, é o que você precisa), chamado método de Newton que tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Mas ele depende de noções básicas de derivada.

por **Ana_Rodrigues** » Sex Fev 03, 2012 15:01

Eu perdi calculo 1 período passado, e estou começando do zero ( ou quase isso, rsrs). Meu professor deve ter ensinado isso na aula, mas a verdade é que eu ainda não estudei, entretanto eu tenho algumas noções básicas de derivadas.

por **ant_dii** » Sex Fev 03, 2012 21:25

Sendo assim, o método consiste em tomar um ponto qualquer da função, calcular a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcular o intercepto da tangente ao eixo x, calcular o valor da função nesse ponto, e repetir o processo até onde achar necessário, pois depois de um tempo o valor que o processo retorna começa a se repetir e o calculo fica longo.

Este processo deve te levar a uma das raízes da função rapidamente, ou a nada.

Matematicamente, tem-se que fazer

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

onde n indica a n-ésima interação...

Para começar você deve estabelecer um intervalo onde supostamente contém a raiz da função. Para saber se existe uma raiz em um determinado intervalo você precisa estudar o sinal da função neste intervalo, se ao calcular o valor nos extremos obter sinais diferentes quer dizer que existe uma raiz...

Há algumas outras condições, mas procure mais sobre o assunto. Melhor mesmo, é fazer um exemplo... Usando seu caso temos que no intevalo $[0, \,1]$ , a função troca de sinal, pois f(0)=1,5

e

...

Temos que $f(x)=-3x^3+x+1,5 \Rightarrow f'(x)=-9x^2+1$ .
Como para x=1

temos um valor mais próximo de zero para f, vamos tomar x_0=1

para inicir a interação. Assim, temos
x_0=1

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=0,9375$

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=1-\frac{f(0,9375)}{f'(0,9375)}=0.93251837196156$

Você pode continuar para obter uma aproximação melhor... A raiz com aproximação de 15 casa decimais é dada por x=0.932487751163551