Dificuldade em exercícios de demonstração

por **lipelfnc** » Qua Jan 25, 2012 20:16

Primeiros dois exercícios, "de calcular mesmo", do guidorizzi que empaquei. De resto, só os de demonstração que estão me pegando mesmo.

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x - tgx}{x + tgx}$

Tentei substituir tgx = senx/cosx, mas travei quando corta os cosx
No gabarito diz que o resultado é 0.

$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{sen (x\pi)}{x - 1}$
Nesse tentei de vários jeitos, inclusive com a propriedade do limite fundamental.

E obrigado pelas dicas quanto aos exercícios de demonstração.

por **LuizAquino** » Qua Jan 25, 2012 20:41

lipelfnc escreveu: $\lim_{x \to 0}\frac{x - \textrm{tg}\,x}{x + \textrm{tg}\,x}$

Tentei substituir tgx = senx/cosx, mas travei quando corta os cosx
No gabarito diz que o resultado é 0.

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \textrm{tg}\,x}{x + \textrm{tg}\,x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{\textrm{sen}\,x}{\cos x}}{x + \frac{\textrm{sen}\,x}{\cos x}}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x\cos x - \textrm{sen}\,x}{x\cos x + \textrm{sen}\,x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(x\cos x - \textrm{sen}\,x) : x}{(x\cos x + \textrm{sen}\,x) : x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \frac{\textrm{sen}\,x}{x}}{\cos x + \frac{\textrm{sen}\,x}{x}}$

$= \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$

lipelfnc escreveu: $\lim_{x \to 1}\frac{\textrm{sen}\,(x\pi)}{x - 1}$
Nesse tentei de vários jeitos, inclusive com a propriedade do limite fundamental.

Fazendo a substituição u = x - 1, quando $x\to 1$ temos que $u\to 0$ .

Nesse caso, temos que:

$\lim_{x \to 1}\frac{\textrm{sen}\,(x\pi)}{x - 1} = \lim_{u \to 0}\frac{\textrm{sen}\,[(u+1)\pi]}{u}$

$= \lim_{u \to 0}\frac{\textrm{sen}\,(u\pi)\cos \pi + \textrm{sen}\,\pi\cos (u\pi)}{u}$

$= \lim_{u \to 0}\frac{-\textrm{sen}\,(u\pi) }{u}$

$= \lim_{u \to 0}\frac{-\textrm{sen}\,(u\pi) }{u} \cdot \frac{\pi}{\pi}$

$= \lim_{u \to 0}(-\pi)\frac{\textrm{sen}\,(u\pi) }{u\pi}$

$= -\pi$

Observação

Tente justificar que:

$\lim_{u \to 0} \frac{\textrm{sen}\,(u\pi) }{u\pi} = 1$

por **lipelfnc** » Qua Jan 25, 2012 22:23

Nossa, obrigado.
Nunca que eu iria pensar em dividir por x na primeira, e fazer aquela substituição na segunda.

Assim, qual é o segredo para ter essas sacadas? Só a experiência mesmo?

Alguns colegas recomendaram que eu desse uma estudada pelo Apostol. Sei que ele é bem puxado, mas vcs recomendariam para alguem que estará cursando Engenharia?

por **LuizAquino** » Qua Jan 25, 2012 22:46

lipelfnc escreveu:Assim, qual é o segredo para ter essas sacadas? Só a experiência mesmo?

Sim, com a experiência essas simplificações se tornam naturais.

lipelfnc escreveu:Alguns colegas recomendaram que eu desse uma estudada pelo Apostol. Sei que ele é bem puxado, mas vcs recomendariam para alguem que estará cursando Engenharia?

Para um aluno do curso de Engenharia, eu recomendo a referência abaixo.

Stewart, James. Cálculo. Vol. I. 6ª Edição. São Paulo: Thomson Pioneira, 2009.

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