Teoria dos conjuntos, Pergunta de lógica

por **moyses** » Dom Jan 22, 2012 16:53

ola! mais uma vez tenho uma duvida nessa pergunta:
9(UFRGS) A condição necessária e suficiente para que $A\subset B$ , $B\subset C$ , $C\subset A$ é:
A) A=B=C=Vazio

B)

C)

D)

E)

eu não tenho muita certeza mais eu acho que a resposta correta é a C) A=B=C

simplesmente por bom senso rsrs :-D

, mais por favor respondam e digam o por que pois eu quero compreender isso , muito obrigado desde já

por **ant_dii** » Dom Jan 22, 2012 17:29

A resposta correta é a letra E), pois se $A\subset B$ e $B\subset C$ , então $A\subset C$ . Como temos $C\subset A$ , então só podemos ter que A=C

, pois todo elemento de A é elemento de B.

por **moyses** » Dom Jan 22, 2012 20:35

obrigado mais, você poderia me explicar melhor? se não for encomodo

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 23, 2012 00:28

Seguindo a lógica do ant_dii, cheguei a um resultado diferente:
$A\subset B$ , $B\subset C$ , $C\subset A$
Se A = C

, então:
$A\subset B$ , $B\subset A$
Dessa forma, B = A

. Logo,

A resposta seria letra C, e não A. Pois o exercício pede a condição necessária e suficiente.
Se eu tiver cometido algum engano, corrijam. :y:

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 23, 2012 00:35

Acabei de notar outra coisa. Se A for igual a C, automaticamente A = B = C. Então acho que a resposta seria mesmo a alternativa E.

por **ant_dii** » Seg Jan 23, 2012 00:49

Ops... Desculpem, respondi com pressa e depois fiquei preocupado com a resposta correta... kkkk... Foi malss, mas a resposta certa é a que o Arkanus falou...

Uma desatenção minha, pois estava a sair do trabalho, resolvi responder rapidinho e acabei deixando de concluir... Mas valeu novamente Arkanus, você esta corretíssimo...

Quanto

moyses escreveu:obrigado mais, você poderia me explicar melhor? se não for encomodo

Veja o argumento:
Tomemos um elemento qualquer $x \in A$ , como $A\subset B$ temos que $x \in B$ . Da mesma forma, considerando que $B\subset C$ , $x \in C$ , logo $A\subset C$ .
Agora tomemos um elemento $y \in C$ , mas $C\subset A$ , logo $y \in A$ ...
Portanto todo elemento de A é elemento de C... Seguindo o mesmo raciocínio você verá que existe essa mesma relação entre A e B, B e C...

Por definição, dois conjuntos são iguais se, e somente se, todo elemento de um é elemento de outro... Formalmente: Dados os conjuntos A e B, quaisquer, $A=B \Leftrightarrow A\subset B \quad \mbox{e} \quad B\subset A$ .

Quanto a última observação de Arkanus, na verdade quando se tem que $C \subset A$ , automaticamente, $C \subset B$ , pois $A \subset B$ . Isso indica que, como disse corretamente (e agradeço novamente), A=B=C

.

por **ant_dii** » Seg Jan 23, 2012 01:07

Arkanus Darondra escreveu:Acabei de notar outra coisa. Se A for igual a C, automaticamente A = B = C. Então acho que a resposta seria mesmo a alternativa E.

Sim, pois pede-se condição necessária e suficiente. Uma vez que A=C, mas B esta em C, então B está em A, isso é a condição suficiente. Colocar A=B=C tornaria a expressão redundante ao meu ver...

por **moyses** » Seg Jan 23, 2012 08:42

Muito obrigado a todos que me ajudaram a responder, eu achava que era a alternativa C), simplismente analizei de outra essa questão de logica sem ter calma kkkk , eu sou meio inquieto :-D

. Obrigado a todos que livros de matemática vocês recomendam que eu compre.... Sabe eu queria melhorar meu conhecimento sobre a assunto :-D

mais valeww pela resposta bem respondida. até daqui pouco....

por **ant_dii** » Seg Jan 23, 2012 12:19

Ah pra começar eu recomendo o livro do IEZZI: Fundamentos de Matemática Elementar - Conjuntos , Funções - Vol. 1 - 8ª Ed. 2004... Ele é bom de início...