Calcule o valor de m na equação matricial A*X=B

por **andersontricordiano** » Seg Jan 16, 2012 19:46

Para que valores reais de m a equação matricial A * X = B em que , $A=\begin{pmatrix} 2 & 1& -1 \\ 0 & 1& 1 \\ -4&0&m \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3} \end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ admite uma única solução $\begin{vmatrix} {x}_{1} & {x}_{2} &{x}_{3} \\ \end{vmatrix}?$

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 16, 2012 20:37

Olá andersontricordiano.
Você tem a resposta do gabarito? Encontrei $x \not= 4$ mas não tenho certeza.

por **andersontricordiano** » Qua Jan 18, 2012 16:01

sim a resposta é X diferente de 4

por **Arkanus Darondra** » Qua Jan 18, 2012 23:52

andersontricordiano escreveu:Para que valores reais de m a equação matricial A * X = B em que , $A=\begin{pmatrix} 2 & 1& -1 \\ 0 & 1& 1 \\ -4&0&m \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} {x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3} \end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ admite uma única solução $\begin{vmatrix} {x}_{1} & {x}_{2} &{x}_{3} \\ \end{vmatrix}?$

$A.X=B \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1& -1 \\ 0 & 1& 1 \\ -4&0&m \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}{x}_{1} \\ {x}_{2} \\ {x}_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}2x_1 + x_2 - x_3 \\ 0x_1 + x_2 + x_3 \\ -4x_1 + 0x_2 + mx_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow $ \left\{\begin{array}{lll}\displaystyle }2x_1 + x_2 - x_3 = 0 (2L1 + L3) \\\displaystyle 0x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\\displaystyle -4x_1 + 0x_2 + mx_3 = 0\end{array}\right \Rightarrow $ \left\{\begin{array}{lll}\displaystyle }2x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\\displaystyle 0x_1 + x_2 + x_3 = 0 (-2L2 + L3) \\\displaystyle 0x_1 + 2x_2 + -2x_3 + mx_3 = 0\end{array}\right \Rightarrow$
$$ \left\{\begin{array}{lll}\displaystyle }2x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\\displaystyle 0x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\\displaystyle 0x_1 + 0x_2 + -4x_3 + mx_3 = 0\end{array}\right$
Para o sistema possuir uma única solução, ele deve ser um SPD, portanto, a última linha não pode ser nula.
$0x_1 + 0x_2 + -4x_3 + mx_3 \not= 0 \Rightarrow x_3(-4 + m) \not= 0\Rightarrow x_3 \not= 0$ e $-4 + m \not= 0$
Como ele só pode os valor de $m \Rightarrow m \not= 4$