equacao

por **clabonfim** » Seg Jan 16, 2012 01:22

Diz-se que um número inteiro positivo x é um número perfeito, quando é a soma de todos
os seus divisores positivos, exceto ele próprio. Por exemplo, 28 é um número perfeito, pois
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides prova
que se n é um inteiro positivo, tal que 2^n ?1 é um número primo, então 2^(n–1)(2^n ?1) é um número
perfeito. Euler provou que todo número perfeito par tem essa forma, mas ainda não são
conhecidos números perfeitos ímpares.
O menor elemento do conjunto P = {n ? / 2^(n?1)(2^n ?1) > 1128}, para o qual 2n–1(2n?1) é um número
perfeito, é
A) 5 C) 7 E) 9
B) 6 D) 8

por **fraol** » Seg Jan 16, 2012 21:37

Não entendi, ao certo, as expressões contidas no trecho:

O menor elemento do conjunto P = {n ? / 2^(n?1)(2^n ?1) > 1128}, para o qual 2n–1(2n?1) é um número
perfeito, é

Você tem como melhorar o texto usando Latex, quem sabe usando o Editor de Fórmulas?

por **fraol** » Seg Jan 16, 2012 22:59

Revendo um pouco o assunto números perfeitos, acredito que a expressão seja:

O menor elemento do conjunto $P = \{ n \in N / 2^{n-1}(2^{n}-1) > 1128 \}$ , para o qual $2^{n-1}(2^{n}-1)$ é um número perfeito, é

Se assim o for, usando a informação dada: "se $(2^{n}-1)$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^{n}-1)$ é um número perfeito" e o fato de que "se $(2^{n}-1)$ é um número primo, então

também é primo", concluí-se que $n \in \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... \}$ .

Daqui em diante, ou tentamos isolar o

na expressão $2^{n-1}(2^{n}-1) > 1128$ via algum recurso algébrico ( tentei mas não cheguei a bom termo ), ou testamos alguns números primos posto que 1128 é um número relativamente pequeno e não será difícil encontrar o tal n.

Outra alternativa, que não é o caso em um teste ou prova, mas pode ser usado em caso de pesquisa é recorrer a uma tabela de números perfeitos conhecidos, ou mesmo aplicar a fórmula em uma planilha de cálculo.

Se algum outro colega tiver alguma outra forma, manda pra cá.