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[Integral] Ajuda nesta função

[Integral] Ajuda nesta função

Mensagempor duplaimp » Qui Jan 12, 2012 15:55

Alguém sabe como calcular este integral de forma imediata? (sem fazer substituiçao)

\int e^{2x}cot(e^{2x})
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Re: [Integral] Ajuda nesta função

Mensagempor MarceloFantini » Qui Jan 12, 2012 19:44

O que você define por imediata? Por substituição parece imediata.
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Re: [Integral] Ajuda nesta função

Mensagempor ant_dii » Sex Jan 13, 2012 01:45

duplaimp escreveu:Alguém sabe como calcular este integral de forma imediata? (sem fazer substituiçao)

\int e^{2x}cot(e^{2x})


Primeiro, a integral deve estar escrita corretamente, explicitando em relação a quem é o integrando
\int e^{2x} \cot(e^{2x})dx.

Agora podemos calcula-lá da seguinte forma
\int e^{2x} \cot(e^{2x})dx =\int \cot(e^{2x})e^{2x}dx = \frac{1}{2}\int \cot(e^{2x})(2e^{2x}dx)= \\ \\ =\frac{1}{2}\int \cot(e^{2x})d(e^{2x})= \frac{1}{2}\ln(\sin(e^{2x})) + constante

observando que \frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x} \Rightarrow d(e^{2x})=2e^{2x}dx.

Não sei se era este o método direto que comentou.

Veja que para calcular \int \cot(x)dx, você poderá usar o mesmo método, pois
\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{\sin x} então

\int \cot(x)dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx= \\ \\ \int \frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln(\sin x)+constante,
lembrando que \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \Rightarrow d(\sin x)=\cos x dx.
Só os loucos sabem...
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.