[Integral] Ajuda nesta função

por **duplaimp** » Qui Jan 12, 2012 15:55

Alguém sabe como calcular este integral de forma imediata? (sem fazer substituiçao)

$\int e^{2x}cot(e^{2x})$

por **MarceloFantini** » Qui Jan 12, 2012 19:44

O que você define por imediata? Por substituição parece imediata.

por **ant_dii** » Sex Jan 13, 2012 01:45

duplaimp escreveu:Alguém sabe como calcular este integral de forma imediata? (sem fazer substituiçao)

$\int e^{2x}cot(e^{2x})$

Primeiro, a integral deve estar escrita corretamente, explicitando em relação a quem é o integrando
$\int e^{2x} \cot(e^{2x})dx$ .

Agora podemos calcula-lá da seguinte forma
$\int e^{2x} \cot(e^{2x})dx =\int \cot(e^{2x})e^{2x}dx = \frac{1}{2}\int \cot(e^{2x})(2e^{2x}dx)= \\ \\ =\frac{1}{2}\int \cot(e^{2x})d(e^{2x})= \frac{1}{2}\ln(\sin(e^{2x})) + constante$

observando que $\frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x} \Rightarrow d(e^{2x})=2e^{2x}dx$ .

Não sei se era este o método direto que comentou.

Veja que para calcular $\int \cot(x)dx$ , você poderá usar o mesmo método, pois
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{\sin x}$ então

$\int \cot(x)dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx= \\ \\ \int \frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln(\sin x)+constante$ ,
lembrando que $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \Rightarrow d(\sin x)=\cos x dx$ .

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