Demonstração subespaço Vetorial

por **TiagoFERD** » Seg Dez 26, 2011 17:12

Boa tarde, desde já agradeço a ajuda que me deram em outro tópico,se puderem dar umas dicas nesse exercício também ficava muito agradecido..

Precisava de umas dicas para os 2, o livro explica muito sinteticamente.

Obrigado.

por **MarceloFantini** » Seg Dez 26, 2011 17:55

A dica para o primeiro é igual a do fraol no seu outro tópico. Procure elementos que não satisfaçam as condições dadas. Veja que na primeira letra obviamente não pode ser pois uma condição para ser subespaço é que o zero pertença ao subespaço, e se a diagonal principal for não-nula não acontece.

por **LuizAquino** » Ter Dez 27, 2011 12:13

Para o primeiro exercício, basta seguir as instruções de Fantini.

Para o segundo, é só testar as três condições que caracterizam um subespaço.

Considere uma matriz $A\in {\cal M}_{m\times n} (\mathbb{K})$ . Seja o conjunto $W = \left\{X\in \mathbb{K}^n \mid AX=0\right\}$ .

Para verificar se W é subespaço de $\mathbb{K}^n$ , temos que analisar as três condições abaixo.

(i) $0 \in W$ .

Essa condição é verdadeira, pois para X = 0

temos que

.

Obs.: note que o símbolo "0" não é o número zero, mas sim uma matriz nula de tamanho n por 1.

(ii) Se X_1

e

pertencem a W, então X_1 + X_2

pertence a W .

Essa condição é verdadeira, pois temos que:

$A\left(X_1+X_2\right) = AX_1+AX_2 = 0 + 0 = 0$

(iii) Se X pertence a W e $\alpha$ pertence a $\mathbb{K}$ , então $\alpha X$ pertence a W.

Essa condição é verdadeira, pois temos que:

$A\left(\alpha X\right) = \alpha\left(AX\right)= \alpha 0 = 0$

Logo, como (i), (ii) e (iii) são verdadeiras, temos que W é subespaço de $\mathbb{K}^n$ .

Observação

Nos seus próximos tópicos, escreva todo o texto do exercício. Não envie o texto como uma imagem, pois isso prejudica o sistema de busca do fórum.

por **TiagoFERD** » Qui Dez 29, 2011 20:11

LuizAquino escreveu:Para o primeiro exercício, basta seguir as instruções de Fantini.

Para o segundo, é só testar as três condições que caracterizam um subespaço.

Considere uma matriz $A\in {\cal M}_{m\times n} (\mathbb{K})$ . Seja o conjunto $W = \left\{X\in \mathbb{K}^n \mid AX=0\right\}$ .

Para verificar se W é subespaço de $\mathbb{K}^n$ , temos que analisar as três condições abaixo.

(i) $0 \in W$ .

Essa condição é verdadeira, pois para temos que .

Obs.: note que o símbolo "0" não é o número zero, mas sim uma matriz nula de tamanho n por 1.

(ii) Se e pertencem a W, então pertence a W .

Essa condição é verdadeira, pois temos que:

$A\left(X_1+X_2\right) = AX_1+AX_2 = 0 + 0 = 0$

(iii) Se X pertence a W e $\alpha$ pertence a $\mathbb{K}$ , então $\alpha X$ pertence a W.

Essa condição é verdadeira, pois temos que:

$A\left(\alpha X\right) = \alpha\left(AX\right)= \alpha 0 = 0$

Logo, como (i), (ii) e (iii) são verdadeiras, temos que W é subespaço de $\mathbb{K}^n$ .

Observação

Nos seus próximos tópicos, escreva todo o texto do exercício. Não envie o texto como uma imagem, pois isso prejudica o sistema de busca do fórum.

Boa noite LuizAquino, obrigado me ajudou muito!

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