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Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor Nana_3000 » Sex Dez 23, 2011 10:09

Olá pessoal do fórum!

Estou com intensas dúvidas sobre equação trigonométrica simples.

Neste caso, como faço para calcular sen 4x = -1, no intervalo de 0 =< x =< 90 graus?

Tentei calcular 4x = -1 => x = -1/4... Então teremos sen -1/4? Como faço para chegar no resultado?
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor fraol » Sex Dez 23, 2011 17:25

Olá Nana,

O caminho não é fazer 4x = -1. Tente ler essa equação da seguinte forma: sen( ANGULO ) = -1 onde o ANGULO = 4x.

Então o que está sendo pedido é que se encontre todos os x, entre 0 e 90 graus, para os quais os ângulos iguais a 4x tenham o seno igua a -1.

Veja se você consegue evoluir o desenvolvimento encontrando, primeiramente, quais são os ângulos que têm seno igual a -1 e depois achando os x pedidos.


Abç,
Francisco.
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor MarceloFantini » Sex Dez 23, 2011 21:18

Sugestão: faça 4x=t, portanto se 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \implies 0 \leq 4x \leq 2 \pi \implies 0 \leq t \leq 2 \pi. Então teremos \sin t = -1. Encontre t e volte para descobrir x.
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor Nana_3000 » Sex Dez 23, 2011 22:01

Olá Fraol!

Agradeço a força!

Bem, consegui evoluir sim com as explicações dadas por você! Ainda assim, não sei se fui pelo caminho certo de modo a chegar no correto resultado. Mas vamos lá:

1- de acordo com intervalo dado (0 =< x =< 90°), verifiquei, antes de mais nada, quais eram os ângulos correspondentes ao seno = -1, esquematizando o círculo trigonométrico. Como padrão, os valores máximos dentro do mesmo são de -1 a 1. Mas o esquesito é que o valor máximo para o seno do 1° quadrante é 1 e não -1. Logo, um dos valores correspondentes a X com o seno = 1 seria o angulo 90º. Então para a equação seno 4x = -1 nesse intervalo teria uma solução vazia S = {}?

2 - tentei calcular sen 4x = 1. Se um dos valores é 90º, então 90º = 4x => 90°/ 4 = 22,5° (pi / 8 rad)

3 - se o sen do angulo notável 30° = 1/2, então o sen 22,5° é menor do que esse valor. Logo, verifiquei quantas vezes esse mesmo ângulo se repetia no intervalo dado no exercício e estava próximo de 90°. Segundo minha lógica, o angulo se repetia 3 vezes, totalizando 67,5°(ou 3 pi / 8 rad)

Esse raciocínio está correto ou a solução seria mesmo vazia?

Obrigado! (desculpas por não demonstrar corretamente em radianos. No dispositivo que estou respondendo há problemas com o editor de formulas que o fórum oferecem).
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor Nana_3000 » Sex Dez 23, 2011 22:04

Olá Marcelo!

Não consegui visualizar sua mensagem antes de postar a resposta ao Fraol. Bem, consegui resolver como acima. Consegue identificar se a solução está correta?

Obrigado!
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor MarceloFantini » Sex Dez 23, 2011 23:02

Sua resposta está errada, e o raciocínio também. Veja que o arco dado é 4x, e não x. Reveja minha sugestão e trabalhe com isso.
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor fraol » Sex Dez 23, 2011 23:23

Como o Marcelo disse, o raciocínio não está certo.

Um forma intuitiva de você chegar à resposta certa é preencher as lacunas abaixo, assim ficará mais fácil de visualizar o raciocínio que o Marcelo e eu colocamos.

Responda qual é o primeiro ângulo do círculo trigonométrico cujo seno é igual a -1? ______ graus.

Divida esse valor por 4, afinal esse ângulo vale 4x e encontrará ______ graus.

Veja que a coincidência com o seu resultado (3) não valida o raciocínio que você desenvolveu.

Resumindo: sen(4x) = -1 \iff 4x = _____ graus \iff x = _____ / 4, logo x = ______ graus.

Boa sorte,
Francisco.
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Re: Duvidas sobre equação trigonométrica simples

Mensagempor Nana_3000 » Sáb Dez 24, 2011 00:38

Olá Fraol e Marcelo!

Obrigado novamente pela ajuda!

Puxa, era mais fácil do que eu imagina! O problema é que me limitei ao intervalo dado pelo exercício. Agora descobri que apenas o valor final implicava no intervalo em questao. Foi apenas falta de atenção! Pensava que o angulo a ser identificado primeiramente no círculo trigonométrico pelo valor do seno era o válido.

Conforme as instruções do Fraol consegui resolver tal questão:

Responda qual é o primeiro ângulo do círculo trigonométrico cujo seno é igual a -1? 270 graus.

Divida esse valor por 4, afinal esse ângulo vale e encontrará 67,5 graus.

Agora sim isso resolve outras dúvidas referentes às equações trig. simples!

Muito obrigado pela ajuda pessoal!


Resumindo: _____ graus _____ / 4, logo ______ graus.









.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}