Provar, usando a propriedade arquimediana

por **Aliocha Karamazov** » Sex Set 09, 2011 01:25

Pessoal, vou postar nessa seção, pois esse exercício está no capítulo de sequência do livro...

Usando a propriedade arquimediana, prove que se $|x-y|<\frac{1}{n}$ para todo $n\in\mathds{N}$ , então x=y

por **fraol** » Sex Dez 16, 2011 19:05

Lá vai uma tentativa: (todo n Natural)

$|x-y| < \frac{1}{n} \iff - \frac{1}{n} < x - y < \frac{1}{n} \iff y - \frac{1}{n} < x < \frac{1}{n} + y$

Se n tende a 0 então ficaremos com algo assim $- \infty < x < \infty$ o que é sempre verdade para qualquer

real e nada concluímos.

Se n tende ao $\infty$ então ficaremos com y < x < y

e portanto x = y

.

É isso aí. Que tal?

por **MarceloFantini** » Sáb Dez 17, 2011 00:05

Se fosse menor ou igual talvez, mas y<y

não faz muito sentido.

por **fraol** » Sáb Dez 17, 2011 06:13

Oops!

Está certo Marcelo,

Vou repensar a tentativa, você tem alguma dica?

Abç,
Francisco.

por **fraol** » Sáb Dez 17, 2011 20:53

Repensando e usando melhor o enunciado, vamos a uma nova parcial:

(1) A propriedade Arquimediana diz que dados $a, b \in R$ tais que 0 < a < b

então existe algum $m \in N$ tal que m.a > b

.

(2) Da hipótese do enunciado temos $|x - y| < \frac{1}{n}$ , invertendo ficamos com $n < \frac{1}{|x - y|}$ .

(3) Aplicando a Arquimediana em (2) pode-se, então, afirmar que existe algum $m \in N$ tal que $m.n < \frac{1}{|x - y|}$ .

(4) Mas olhando para (3) e (1), vemos que o tal

em (3) só existirá se $|x - y| \ne 0$

E agora eu encalhei, será que foi a cerveja? Será que teremos que partir para uma contradição para provar a hipótese?

Bom, se alguém tiver alguma dica, por favor, manda pra cá.

por **fraol** » Seg Dez 19, 2011 19:53

Retomando o raciocínio da minha intervenção anterior e, corrigindo alguns equívocos temos o seguinte:

(1) A propriedade Arquimediana diz que dados $a, b \in R$ tais que 0 < a < b

então existe algum $m \in N$ tal que m.a > b

.

(2) Da hipótese do enunciado temos $|x - y| < \frac{1}{n}$ . Vamos supor então que $x \ne y$ e portanto | x - y | > 0

.

(3) Aplicando a Arquimediana em (2) pode-se, então, afirmar que existe algum $m \in N$ tal que $m . |x - y| > \frac{1}{n} \iff |x - y| > \frac{1}{m.n}$ .

(4) Como $m, n \in N$ então $m . n \in N$ também, chamemos esse produto de

.

(5) Assim, chegamos a uma contradição: $|x - y| < \frac{1}{n}$ e $|x - y| > \frac{1}{p}$ . Ambos

e

naturais quaisquer contrariando a hipótese dada no enunciado original e a nossa suposição de que $x \ne y$ .

(6) Portanto, só resta aceitar que x = y

.

Aliás, há outra forma de forma provar isso. Antes teríamos que provar que o ínfimo do conjunto { $\frac{1}{n}; n \in N$ } é igual a 0 (usando a Arquimediana). E daí usaríamos limites, mas aí estaríamos usando outros recursos além da Arquimediana.

Demorou mas fechou.