[calculo] volume por integral 2

por **beel** » Dom Nov 27, 2011 20:54

Considere a regiao delimitada pelo grafico da função F(x)= $\sqrt[]{c^2 -x^2}$ , o eixo Ox e as retas x=-c e x=c, onde c maior que 0.O volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo Ox é.
Eu fiz assim,
$\int_{-c}^{c}\Pi(\sqrt[]{c^2 -x^2})^2 dx$
ficou:
$\Pi(\frac{c^3}{3} - \frac{x^3}{3})$ , aplicados de -c até c
fiquei muito em duvida em como fazer dai em diante

por **LuizAquino** » Seg Nov 28, 2011 16:36

beel escreveu:Considere a regiao delimitada pelo grafico da função $F(x)=[tex]\sqrt[]{c^2 -x^2}$ [/tex], o eixo Ox e as retas x=-c e x=c, onde c maior que 0.O volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo Ox é.
Eu fiz assim,
$\int_{-c}^{c}\Pi(\sqrt[]{c^2 -x^2})^2 dx$
ficou:
$\Pi(\frac{c^3}{3} - \frac{x^3}{3})$ , aplicados de -c até c
fiquei muito em duvida em como fazer dai em diante

Para conferir a sua resolução, siga os procedimentos abaixo.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate pi*(sqrt(c^2 - x^2))^2 dx
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.

por **beel** » Dom Dez 04, 2011 21:14

a integral é definida... o enunciado fala que a função é delimitada pelas retas x=c e x=-c...fiz uma substituição trigonometrica e cai nisso $\Pi\int_{-c}^{c} c^2 - (c.sen\theta)^2c.cos\thetad\theta$ , mas nao to conseguindo achar uma primitiva...fuuui naquele site mas nao achei nenhuma resultado

por **LuizAquino** » Seg Dez 05, 2011 11:02

beel escreveu:a integral é definida... o enunciado fala que a função é delimitada pelas retas x=c e x=-c...fiz uma substituição trigonometrica e cai nisso $\Pi\int_{-c}^{c} c^2 - (c.sen\theta)^2c.cos\theta d\theta$ , mas nao to conseguindo achar uma primitiva...fuuui naquele site mas nao achei nenhuma resultado

Utilizando o procedimento indicado acima, você irá obter o passo a passo do cálculo da integral indefinida $\int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx$ . Ou seja, você poderá verificar o passo a passo de como obter a primitiva de $\pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2$ .

Note que não é necessário utilizar substituição trigonométrica, pois para $x\in [-c,\, c]$ temos que $c^2 - x^2 \geq 0$ , o que significa que podemos escrever:

$\int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx = \int \pi\left(c^2 - x^2\right)\,dx$

Eis a resposta final que será apresentada na página indicada no procedimento:

Indefinite integrals:

$\int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx = \pi c^2 x - \frac{\pi x^3}{3} + \textrm{constant}$

Agora tudo que você precisa fazer é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int_{-c}^{c} \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2 dx = \left[\pi c^2 x - \frac{\pi x^3}{3}\right]_{-c}^c$

$=\left[\pi c^2 \cdot c - \frac{\pi \cdot c^3}{3}\right] - \left[\pi c^2\cdot (-c) - \frac{\pi \cdot (-c)^3}{3}\right]$

$=\left[\pi c^3 - \frac{\pi c^3}{3}\right] - \left[-\pi c^3 + \frac{\pi c^3}{3}\right]$

$= \frac{4\pi c^3}{3}$

Por fim, você pode conferir o seu resultado digitando no campo de entrada da página indicada: