[Algebra Linear]Diagonalização de operadores auto-adjuntos

por **Renato_RJ** » Qui Dez 01, 2011 17:50

Olá pessoal, tudo em paz ??

Seguinte, estou com um problema com uma demonstração, comecei mas fiquei "preso" em um ponto e aí vem a dúvida, estaria certo o que eu escrevi ?? Ou abordei de maneira errada o problema e por isso parei no ponto em questão ??? Segue o problema e a demonstração, ficarei imensamente grato se alguém verificasse para mim.

Problema:
Sejam A e B operadores auto-adjuntos tais que AB = BA. Mostre que existe uma única base ortonormal que diagonaliza simultaneamente A e B.

Demonstração que escrevi e parei:

Como AB = BA então A e B são operadores comutativos. Tenhamos $\lambda$ um autovalor de A e $E_{\lambda}$ o auto-espaço associado. Seja $v \in E_{\lambda}$ tal que:

$A v = \lambda v$

Então $E_{\lambda}$ é invariante por B. Daí concluímos que v é um autovetor comum a A e a B, então:

$A v = \lambda v$

$B v = \gamma v$

-----------------------------------------------
Eu acho que estou errando aqui, pois eu resolvi assumir um vetor $v^{\perp}$ tal que

$A v^{\perp} = \lambda v^{\perp}$

$B v^{\perp} = \lambda v^{\perp}$

Daí eu concluo que $v^{\perp}$ pertence a uma base ortonormal... Parece que estou "forçando a barra" e por isso me soa como errado...

Alguém poderia me ajudar com essa demonstração ??

Desde já grato...
Renato.

por **Renato_RJ** » Qui Dez 01, 2011 18:51

Fiz as seguintes alterações na demonstração, espero que esteja certa agora:

Seja $A,B: E \rightarrow E$ dois operadores auto-adjuntos tais que AB = BA, tenhamos $\lambda$ um autovalor de A e $E_{\lambda}$ um auto-espaço associado. Agora tenhamos $v \in E$ vetor não nulo tal que:

$Av = \lambda v$

Como AB = BA, temos:

$AB = BA \Rightarrow ABv = BAv \Rightarrow AB v = B \lambda v \Rightarrow B \lambda v = \lambda B v \therefore B v \in E_{\lambda}$

Logo $E_{\lambda}$ é invariante por B. Então v é um autovetor comum a A e a B, logo existe $\gamma$ tal que:

$B v = \gamma v$

Como $\lambda$ e $\gamma$ são raízes reais dos polinômios característicos de A e B, então $A - \lambda \textrm{I}$ e $B - \gamma \textrm{I}$ são ambos não invertíveis e como:

$Av = \lambda v \Rightarrow (A - \lambda \textrm{I}) v = 0$

$Bv = \gamma v \Rightarrow (B - \gamma \textrm{I})v = 0$

Então v pertence a uma base $\mathbb{B} \subset E$ ortonormal de autovetores de A e B, logo a base $\mathbb{B}$ diagonaliza A e B simultaneamente.

Bem, será que ficou boa essa ????

Grato,
Renato.

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