[calculo] volume por integral

por **beel** » Dom Nov 27, 2011 20:44

Qual o volume de um solido gerado pela rotação em torno do eixo Ox , sendo que sua função é f(x) = $\frac{1}{1+x^2}$ , com x E [0,1].
Eu fiz assim:
$\int_{0}^{1}\Pi(\frac{1}{1+x^2})^2 dx$ ,
mas fiquei em duvida na substituiçao.Coloquei u=a.tg(theta)
mas ai x²=tg(theta)

por **LuizAquino** » Seg Nov 28, 2011 16:32

beel escreveu:Eu fiz assim:
$\int_{0}^{1}\Pi(\frac{1}{1+x^2})^2 dx,$
mas fiquei em duvida na substituiçao.Coloquei u=a.tg(theta)
mas ai x²=tg(theta)

Para conferir a resolução da integral, siga os procedimentos abaixo.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate pi(1/(1 + x^2))^2 dx
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.

por **beel** » Seg Nov 28, 2011 16:37

Nao aparece a resolução, com substituiçao e etc nesse site...isso nao ajuda muito, mas obg de qualquer forma, de novo.

por **LuizAquino** » Seg Nov 28, 2011 17:04

beel escreveu:Nao aparece a resolução, com substituiçao e etc nesse site...isso nao ajuda muito, mas obg de qualquer forma, de novo.

"Não ajuda muito"?!

Vejamos como usar o procedimento. Através dele, podemos obter o texto abaixo.

Possible intermediate steps:

$\int \frac{\pi}{(1+x^2)^2} dx$

Factor out constants:

$= \pi \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$

For the integrand, 1/(x^2+1)^2 substitute x = tan(u) and dx = sec^2(u) du. Then (x^2+1)^2 = (tan^2(u)+1)^2 = sec^4(u) and u = tan^(-1)(x):

$= \pi \int \cos^2(u) du$

Write cos^2(u) as 1/2 cos(2 u)+1/2:

$= \pi \int \left(\frac{1}{2} \cos(2 u)+\frac{1}{2}\right) du$

Integrate the sum term by term and factor out constants:

$= \pi \int \frac{1}{2} du + \frac{\pi}{2} \int \cos(2 u) du$

For the integrand cos(2 u), substitute s = 2 u and ds = 2 du:

$= \frac{\pi}{4} \int \cos(s) ds + \pi \int \frac{1}{2} du$

The integral of cos(s) is sin(s):

$= \frac{1}{4}\pi \sin(s)+ \pi \int \frac{1}{2} du$

The integral of 1/2 is u/2:

$= \frac{1}{4} \pi \sin(s) + \frac{\pi u}{2}+\textrm{constant}$

Substitute back for s = 2 u:

$= \frac{\pi u}{2} + \frac{1}{4}\pi \sin(2 u) + \textrm{constant}$

Substitute back for u = tan^(-1)(x):

$= \frac{\pi \left[\left(x^2+1\right) \tan^{-1}(x)+x\right]}{2 \left(x^2+1\right)}+\textrm{constant}$

Which is equal to:

$= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1}(x)\right)+\textrm{constant}$

Agora tudo que você precisa fazer é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int_{0}^{1}\pi \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2 dx = \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1}(x)\right)\right]_0^1$

$= \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{1^2+1} + \tan^{-1}(1)\right)\right] - \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{0}{0^2+1} + \tan^{-1}(0)\right)\right]$

$= \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right] - \left[\frac{1}{2} \pi \left(0 + 0\right)\right]$

$= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

$= \frac{\pi(2 + \pi)}{8}$

Por fim, você pode conferir o seu resultado digitando no campo de entrada da página indicada:

Código: Selecionar todos: integrate pi(1/(1 + x^2))^2 dx x=0..1

por **beel** » Dom Dez 04, 2011 21:04

Mas na hora de determinar o "u" pra fazer a substituiçao trigonometrica, nao seria x²? foi isso que me confundiu, e foi essa minha duvida...na resolução ele coloca o x como u

por **LuizAquino** » Seg Dez 05, 2011 10:30

beel escreveu:Mas na hora de determinar o "u" pra fazer a substituiçao trigonometrica, nao seria x²? foi isso que me confundiu, e foi essa minha duvida...na resolução ele coloca o x como u

Não. A substituição deve ser como foi indicado na resolução:

(...)
$= \pi \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$

For the integrand, 1/(x^2+1)^2 substitute x = tan(u) and dx = sec^2(u) du.

$= \pi \int \cos^2(u) du$
(...)

Fazendo essa substituição, temos que:

$\pi \int \frac{1}{\left(1 + x^2\right)^2} \, dx = \pi\int \frac{1}{\left(1 + \textrm{tg}^2\,u\right)^2} \sec^2 u \, du = \pi\int \frac{1}{\left(\sec^2 u\right)^2} \sec^2 u \, du$ $= \pi\int \frac{1}{\sec^2 u} \, du = \pi\int \cos^2 u \, du$