Método de Indução Matemática

por **Beatriz4** » Sex Nov 25, 2011 21:25

Precisava de ajuda neste exercicio:

Considere a função real de variável real definida por f(x)=cos(3x). Prove pelo método de indução matemática que as sucessivas derivadas de f(x) podem ser dadas pela expressão: f^n'(x)=(3^n)cos(n*pi/2+3x).

Já calculei a primeira derivada, ou seja para n'=1: f'(x)=-3sin(3x) e agora segundo este método tenho de pegar na expressão f^n'(x)=(3^n)cos(n*pi/2+3x) e chegar a f^(n+1)'(x)=(3^(n+1))cos((n+1)*pi/2+3x) ou então vice-versa. Como hei de fazer? Se alguém me puder dar umas luzes agradecia

por **MarceloFantini** » Sex Nov 25, 2011 23:09

Perceba que a relação $\cos \left( \frac{\pi}{2} +k \right) = - \sin k$ , logo $f'(x) = 3(- \sin (3x)) = 3 \cos \left( \frac{\pi}{2} +3x \right)$ .

Logo, vamos lá: pela hipótese de indução temos que $f^{(n)}(x) = (3^n) \cos \left( \frac{n \pi}{2} + 3x \right)$ . Derivando, temos:

$f^{(n+1)}(x) = (3^n) \cdot \left(- 3 \sin \left( \frac{n \pi}{2} + 3x \right) \right) = (3^{n+1}) \cdot \left(- \sin \left( \frac{n \pi}{2} +3x \right) \right) =$

$= f^{(n+1)}(x) = (3^{n+1}) \cdot \left( \cos \left( \frac{n \pi}{2} + 3x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = (3^{n+1}) \left( \cos \left( \frac{(n+1) \pi}{2} + 3x \right) \right)$