ONDE ESTOU ERRANDO?

por **Cleyson007** » Qui Nov 24, 2011 14:09

Boa tarde a todos!

Considere a matriz $A= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ e resolva o que se pede:

a) Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine a matriz diagonal D correspondente.
b) Determine uma matriz P tal que $D={P}^{-1}AP$ .

Bom, minha resposta não bate com o gabarito. Gostaria de saber onde estou errando:

a) $\begin{vmatrix} x-5 & -4 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix}\Leftrightarrow{x}^{2}-7x+6=0$

Resolvendo, ${x}_{1}={\lambda}_{1}=6$ e ${x}_{2}={\lambda}_{2}=1$

Substituindo os valores de $\lambda$ em $A\,v=\lambda\,v$ , encontro:

$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . Resolvendo, encontro: ${v}_{1}=(4,1)$ .

Agora fazendo $\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ encontro: ${v}_{2}=(-1,1)$

Logo, a matriz pedida é $P= \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ com $Det\neq0$ . Logo, A é diagonalizável.

b) ${P}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

Resolvendo $D={P}^{-1}AP$ , encontro: $D= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Gabarito: a) $D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ e b) $P= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Até mais.

por **LuizAquino** » Dom Nov 27, 2011 18:57

Cleyson007 escreveu:Considere a matriz A= $\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ e resolva o que se pede:

a) Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine a matriz diagonal D correspondente.
b) Determine uma matriz P tal que $D={P}^{-1}AP$ .

Cleyson007 escreveu:Bom, minha resposta não bate com o gabarito. Gostaria de saber onde estou errando:

a) $\begin{vmatrix} x-5 & -4 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix}\Leftrightarrow{x}^{2}-7x+6=0$

Resolvendo, ${x}_{1}=\lambda_{1}=6$ e ${x}_{2}={\lambda}_{2}=1$

Ok. Esse são os autovalores.

Cleyson007 escreveu:Substituindo os valores de $\lambda$ em $A\,v=\lambda\,v$ , encontro:

$\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ . Resolvendo, encontro: ${v}_{1}=(4,1)$ .

Ok. Esse é um autovetor associado ao autovalor $\lambda_{1}=6$ .

Cleyson007 escreveu:Agora fazendo $\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ encontro: ${v}_{2}=(-1,1)$

Ok. Esse é um autovetor associado ao autovalor $\lambda_{2}=1$ .

Cleyson007 escreveu:Logo, a matriz pedida é $P= \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ com $Det \neq 0$ . Logo, A é diagonalizável.

Ok. Mas eu presumo que você quis dizer $\det P \neq 0$ .

Cleyson007 escreveu:b) ${P}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

Resolvendo $D={P}^{-1}AP$ , encontro: $D= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Está errado. Note que:

$D={P}^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Cleyson007 escreveu:Gabarito: a) $D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ e b) $P= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Nessa resposta foi usado que $\lambda_{1}=1$ e $\lambda_{2}=6$ . Portanto, a primeira coluna de P deve ser o autovetor (-1, 1). Já a segunda coluna de P deve ser o autovetor (4, 1). Ao que parece você cometeu um erro de digitação, pois devemos ter $P= \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ no gabarito.

Note que outra reposta válida é obtida quando é usado $\lambda_{1}=6$ e $\lambda_{2}=1$ . Nesse caso, a primeira coluna de P é o autovetor (4, 1). Já a segunda coluna de P é o autovetor (-1, 1). Essa foi a resposta que você estava no caminho.

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