[Derivada e composta]

por **Saruka** » Sex Nov 11, 2011 18:26

Estou com alguma pressa em saber a resolução de um exercicio que saiu numa frequencia de analise do ano passado na universidade que frequento.

Calcule, usando o Teorema da derivada da funçao composta (fog)' (6)

$f(x)={x}^{3} +1\;\;\;\;\;\;g(x)= 2\sqrt[2]{x-4}$

O que fiz foi:
$3({2\sqrt[2]{x-4}}^{2}) = 3 [4(x-4)] = 12x-48$

Chegando à parte em que tenho que fazer a derivada de g empanquei mesmo. Fiz:

$[2(\frac{1}{2} * {x-4}^{\frac{-1}{2}} * (x-4)'\:]$

Alguem me pode ajudar a entender como se faz a derivada com raiz?

por **Saruka** » Sex Nov 11, 2011 18:33

Na parte do
$3({2\sqrt[2]{x-4}}^{2}) = 3 [4(x-4)] = 12x-48$

o está tudo elevado ao quadrado excepto o 3

por **LuizAquino** » Qui Nov 17, 2011 17:18

Saruka escreveu:Calcule, usando o Teorema da derivada da funçao composta (fog)' (6)

$f(x)={x}^{3} +1$

$g(x)= 2\sqrt{x-4}$

Saruka escreveu:O que fiz foi:
$3\left(2\sqrt{x-4}\right)^{2} = 3 [4(x-4)] = 12x-48$

Desde que x-4 > 0, você pode fazer essa simplificação. No caso geral, o correto seria usar módulo:

$3\left(2\sqrt{x-4}\right)^{2} = 3 (4|x-4|) = |12x-48|$

Saruka escreveu:Chegando à parte em que tenho que fazer a derivada de g empanquei mesmo. Fiz:

$2\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(x-4\right)^{\frac{-1}{2}} \cdot (x-4)^\prime$

Você está no caminho certo. Basta continuar:

$2\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(x-4\right)^{\frac{-1}{2}} \cdot (x-4)^\prime =$

$= 1 \cdot \frac{1}{\left(x-4\right)^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

$= \frac{1}{\sqrt{x-4}}$

Observação

Note que você não precisa necessariamente encontrar a expressão para (fog)' (x). Afinal de contas, o exercício pede apenas (fog)' (6).

Utilizando a regra da cadeia, você sabe que (fog)' (x) = f'(g(x))g'(x). Basta então calcular f'(g(6))g'(6).

Note que:

$g(6)= 2\sqrt{6-4} = 2\sqrt{2}$

$f^\prime (x)=3x^2 \Rightarrow f^\prime (g(6)) = 3[g(6)]^2 \Rightarrow f^\prime \left(2\sqrt{2}\right) = 24$

$g^\prime(x)= \frac{1}{\sqrt{x-4}} \Rightarrow g^\prime (6) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Sendo assim, temos que:

$(f\circ g)^\prime(6) = f^\prime(g(6))g^\prime(6) = \frac{24}{\sqrt{2}}$

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