[calculo] limite - exponencial

por **beel** » Dom Out 30, 2011 17:51

$\lim_{x\rightarrow\infty}[(e^x + x)]^\frac{2}{x}$

nesse limite, a função exponencial por ser continua "dá passagem' pro limite?
fiz baseado nisso e meu resultado deu e²

por **LuizAquino** » Dom Out 30, 2011 18:24

beel escreveu: $\lim_{x\to\infty} \left(e^x + x\right)^\frac{2}{x}$

nesse limite, a função exponencial por ser continua "dá passagem' pro limite?
fiz baseado nisso e meu resultado deu e²

O resultado desse limite é esse. Mas envie o seu desenvolvimento para que possamos verificar se ele está correto.

por **beel** » Dom Out 30, 2011 18:47

$\lim_{x\rightarrow\infty}exp[ln( e^x + x)]^\frac{2}{x}= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} [ln(e^x + x)]\frac{2}{x}= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} [ln(e^x + x)\frac{x}{2}= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} (\frac{[ln(e^x + x)]\prime}{(\frac{x}{2}\prime)}= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{e^x + 1}{e^x + x}}{\frac{1}{2}})= exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(e^x + 1)}{e^x + x})=$

continua...

por **beel** » Dom Out 30, 2011 18:58

por **LuizAquino** » Dom Out 30, 2011 19:02

beel escreveu: $\lim_{x\rightarrow\infty}exp[ln( e^x + x)]^\frac{2}{x} = exp (\lim_{x\rightarrow\infty} [ln(e^x + x)]\frac{2}{x}$ $= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} [ln(e^x + x)\frac{x}{2}= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} (\frac{[ln(e^x + x)]\prime}{(\frac{x}{2}\prime)}$ $= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{e^x + 1}{e^x + x}}{\frac{1}{2}})= exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(e^x + 1)}{e^x + x}) =$

continua...

$exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2(e^x + 1)\prime}{(e^x + x)\prime}) = exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2e^x}{(e^x + 1)}$ $= exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(2e^x)\prime}{(e^x + 1)\prime})= exp (\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(2e^x)}{(e^x)})$ $= exp (\lim_{x\rightarrow\infty} 2)= exp (2) = e^2$

Ok. Basicamente você começou usando a propriedade $e^{\ln u} = u$ (com u > 0).

Uma outra forma de fazer segue abaixo.

Note que para x>0

, temos que $\left(e^x + x\right)^\frac{2}{x} > 0$ .

Vamos supor que esse limite seja igual a L. Então deve ocorrer L>0

. Sendo assim, podemos escrever:

$L = \lim_{x\to\infty} \left(e^x + x\right)^\frac{2}{x}$

$\ln L = \ln \lim_{x\to\infty} \left(e^x + x\right)^\frac{2}{x}$

Como a função logaritmo natural é contínua em todo o seu domínio, ela pode "entrar" nesse limite.

$\ln L = \lim_{x\to\infty} \ln \left(e^x + x\right)^\frac{2}{x}$

$\ln L = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x} \ln \left(e^x + x\right)$

$\ln L = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln \left(e^x + x\right)}{\frac{x}{2}}$

$\ln L = \lim_{x\to\infty} \frac{\left[\ln \left(e^x + x\right)\right]^\prime}{\left(\frac{x}{2}\right)^\prime}$

$\ln L = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{e^x+1}{e^x + x}}{\frac{1}{2}}$

$\ln L = 2\lim_{x\to\infty} \frac{e^x+1}{e^x + x}$

$\ln L = 2\lim_{x\to\infty} \frac{\left(e^x+1\right)^\prime}{\left(e^x+x\right)^\prime}$

$\ln L = 2\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{e^x + 1}$

$\ln L = 2\lim_{x\to\infty} \frac{\left(e^x\right):e^x}{\left(e^x + 1\right):e^x}$

$\ln L = 2\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{e^x}}$

$\ln L = 2 \cdot \frac{1}{1+0}$

L = e^2