calculo - pontos da curva

por **caiofisico** » Qui Out 27, 2011 13:12

to com uma duvida na questao abaixo, preciso de uma ajuda

4- determine os pontos da curva 5x^2 - 6xy + 5y^2 = 4 mais proximos da origem.

Obrigado

por **Neperiano** » Qui Out 27, 2011 14:14

Ola

Não sei se da pra resolver por limite, mas seria interessante tentar, x e y tendendo a 0

Ou pode ir chutando valores até descobrir o mais perto

Deve ter outro jeito mas eu só sei fazer por estes dois

Atenciosamente

por **caiofisico** » Qui Out 27, 2011 15:05

Eu poderia por exemplo derivar e igualar a zero?

por **Neperiano** » Qui Out 27, 2011 15:13

Ola

Até pode mas não sei se vai ajudar muito, ficaria:

10x-6y+6x+10y=0

Se quise tentar

Atenciosamente

por **caiofisico** » Qui Out 27, 2011 15:38

Vou tentar, mais eu poderia fazer pitagoras e aplicar na formula d^2 = x^2 + y^2 e depois derivar d

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 17:00

Olá caiofisico,

Esse exercício foi proposto em que parte do conteúdo da disciplina?

Você já estudou como calcular o máximo (ou o mínimo) de funções com duas variáveis? Ou de funções com apenas uma?

Ou por acaso esse exercício foi proposto na disciplina de Geometria Analítica? Nesse contexto, você já estou sobre mudança de coordenadas (rotação e translação de eixos)?

por **caiofisico** » Qui Out 27, 2011 20:04

já tivemos máximos e mínimos sim, eu fiz assim

5x² - 6xy + 5y² =4

$y=\frac{6x +/- \sqrt[]{36x²-20(5x²-4)}}{10}$
$y=\frac{3x +/- 2\sqrt[]{5-4x}}{5}$
d²=x²+y²

dai depois derivo d, to com dificuldade nessa parte da derivação, também não sei se essa forma que eu fiz esta correta =/

** saiu errado no editor o Â² é elevado ao quadrado ^^

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 22:27

caiofisico escreveu:já tivemos máximos e mínimos sim

Ok. Mas no caso, para funções com 1 ou 2 variáveis? Esse exercício sairia mais fácil por funções de duas variáveis, mas se você está em Cálculo I provavelmente viu apenas o máximo ou mínimo de funções com 1 variável.

eu fiz assim

$y=\frac{6x \pm \sqrt{36x^2-20(5x^2-4)}}{10}$

$y=\frac{3x \pm 2\sqrt{5-4x}}{5}$

Para usar uma função de apenas 1 variável, é por aí mesmo. Entretanto, note que:

$y = \frac{3x \pm 2\sqrt{5-4x^2}}{5}$

Agora você vai montar duas funções:

$f(x) = x^2 + \left( \frac{3x + 2\sqrt{5-4x^2}}{5}\right)^2 \Rightarrow f(x) = \frac{18}{25}x^2 + \frac{12x}{25}\sqrt{5-4x^2} + \frac{4}{5}$

$g(x) = x^2 + \left( \frac{3x - 2\sqrt{5-4x^2}}{5}\right)^2 \Rightarrow g(x) = \frac{18}{25}x^2 - \frac{12x}{25}\sqrt{5-4x^2} + \frac{4}{5}$

Será necessário determinar o mínimo de cada uma delas.

caiofisico escreveu:dai depois derivo d, to com dificuldade nessa parte da derivação (...)

Como exemplo, veja a derivada de f:

$f^\prime(x) = \frac{36}{25}x + \left(\frac{12x}{25}\right)^\prime\sqrt{5-4x^2} + \frac{12x}{25}\left(\sqrt{5-4x^2}\right)^\prime$

$f^\prime(x) = \frac{36}{25}x + \frac{12}{25}\sqrt{5-4x^2} + \frac{12x}{25}\left[\frac{1}{2\sqrt{5-4x^2}}\left(5-4x^2\right)^\prime\right]$

$f^\prime(x) = \frac{36}{25}x + \frac{12}{25}\sqrt{5-4x^2} + \frac{12x}{25}\left(\frac{-4x}{\sqrt{5-4x^2}}\right)$

$f^\prime(x) = \frac{36}{25}x + \frac{12}{25}\sqrt{5-4x^2} - \frac{48x^2}{25\sqrt{5-4x^2}}$

Observação
O carácter Â que apareceu na sua mensagem deve-se ao fato de você ter usado o atalho do teclado para digitar o quadrado no LaTeX, isto é, você escreveu algo como x². O correto seria usar o comando x^2 dentro do LaTeX. Isso produz como resultado: x^2