Integral Definida

por **ah001334** » Seg Out 17, 2011 13:08

Olá Pessoal,

Estou com uma dúvida em uma integral sendo que $\int_{5}^{3}100*50x-3{x}^{2}$ separei elas, coloquei o 100 para fora da integral, pois é um número inteiro e os demais separei em duas integrais uma 50x e a outra -3x elevada na 2 encontrei o resultado 100*25x elevado na 2 - x elevado na 3 mas o resultado nao fecha com o da profe que é 888? o que tenho feito de errado?

por **LuizAquino** » Seg Out 17, 2011 13:47

A integral que você deseja resolver é esta: $\int_5^3 100\left(50x - 3x^2\right)\,dx$ ?

O que você escreveu foi $\int_5^3 100\cdot 50x - 3x^2 \,dx$ , que seria o mesmo que $\int_5^3 5.000x - 3x^2 \,dx$ .

Se a integral que você deseja é a primeira que eu escrevi, então basta fazer:

$100\int_5^3 \left(50x - 3x^2\right)\,dx$

$= 100 \int_5^3 50x \,dx - 100 \int_5^3 3x^2 \,dx$

$= 100\left[25x^2\right]_5^3 - 100 \left[x^3\right]_5^3$

$= 100\left(25\cdot 3^2 - 25\cdot 5^2\right) - 100 \left(3^3 - 5^3\right) = -30.200$

Observação
Eu recomendo que você leia o tópico:
DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
viewtopic.php?f=9&t=74

Se precisar, use também o Editor de Fórmulas.

por **ah001334** » Seg Out 17, 2011 14:27

A questão seria: Suponha que a função seja $100+50x-3{x}^{2}$ quando o nível de produção é x. Encontre o valor do lucro obtido com a venda de 3 unidades adicionais, se atualmente 5 unidades estão sendo produzidas.

Essa é questão, por isso me refiro que os limites serão 3 e 5 e separei a integral com adição e subtração mas nao fecha o resultado o meu resultado foi $100+25{x}^{2}-{x}^{3}$

por **LuizAquino** » Seg Out 17, 2011 15:26

ah001334 escreveu:A questão seria: Suponha que a função seja $100+50x-3{x}^{2}$ quando o nível de produção é x. Encontre o valor do lucro obtido com a venda de 3 unidades adicionais, se atualmente 5 unidades estão sendo produzidas.

Isto já está bem diferente do que você enviou da primeira vez! *-)

Além disso, ainda parece faltar informações nesse enunciado. Não haveria algum texto antes desse? Por exemplo, o que representa a função $f(x) = 100+50x-3{x}^{2}$ ? Isso não está informado nesse enunciado! Por acaso estaria relacionada com o lucro?

por **ah001334** » Seg Out 17, 2011 15:44

sim está relacionada ao lucro

Veja o desenvolvimento da integral

$\int_{5}^{3}100+50-3{x}^{2}= 100\int_{5}^{3}50x dx -\int_{5}^{3}3{x}^{2}dx= 100+\frac{50{x}^{2}}{2}-\frac{3}{{x}^{3}}= 100+25{x}^{2}-{x}^{3}$

por **LuizAquino** » Seg Out 17, 2011 17:11

ah001334 escreveu:Veja o desenvolvimento da integral

$\int_{5}^{3}100+50-3{x}^{2}= 100\int_{5}^{3}50x dx -\int_{5}^{3}3{x}^{2}dx= 100+\frac{50{x}^{2}}{2}-\frac{3}{{x}^{3}}= 100+25{x}^{2}-{x}^{3}$

Isso está errado.

A solução correta seria como segue.

Já que o nível estava em 5 unidades e foram adicionadas 3 unidades, então você passou para um nível de 8 unidades.

Você deve então resolver:

$\int_{5}^{8} 100+50x-3{x}^{2} \,dx = \int_{5}^{8} 100\, dx + \int_{5}^{8} 50x\, dx - \int_{5}^{8} 3{x}^{2} \,dx$

$= \left[100x\right]_5^8 + \left[25x^2\right]_5^8 - \left[x^3\right]_5^8$

$= \left(100\cdot 8- 100\cdot 5\right) + \left(25\cdot 8^2 - 25\cdot 5^2\right) - \left(8^3 - 5^3\right) = 888$

Observação

Uma solução mais curta é apenas fazer:

$\int_{5}^{8} 100+50x-3{x}^{2} \,dx = \left[100x +25x^2 - x^3\right]_5^8$

$= \left(100\cdot 8 + 25 \cdot 8^2 - 8^3\right) - \left(100\cdot 5 + 25 \cdot 5^2 - 5^3\right) = 888$

por **ah001334** » Ter Out 18, 2011 13:12

Muito obrigada!!!

por **ah001334** » Ter Out 18, 2011 13:53

Mais uma dúvida veja a integral abaixo:

$\int_{}^{}x\intx\left( {x}^{2}+1\right){}^{3}dx$ estou resolvendo por substituição como segue abaixo:

$u={x}^{2}+1 du=2x dx=\frac{du}{2x}$ [tex]u={x}^{2}+1

[tex]\int_{}^{}x\left(u \right){}^{3}* \frac{du}{2x}

o que faço com o 3 que está elevando o u?