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[limites] provar que existe o limite

[limites] provar que existe o limite

Mensagempor heric » Qui Out 13, 2011 14:36

provar que o limite de [f(x).g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam.
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Re: [limites] provar que existe o limite

Mensagempor heric » Sáb Out 15, 2011 01:32

para quem resolveu, desculpe cometi um erro, na verdade era pra provar que lim [f(x)-g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam. eu troquei o sinal de subtração(-) por multiplicação(.) se puder responder novamente...muito obrigado!
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Re: [limites] provar que existe o limite

Mensagempor LuizAquino » Sáb Out 15, 2011 07:48

Qual é exatamente o texto do exercício? Você poderia por favor copiar aqui exatamente da mesma maneira como ele aparece?
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Re: [limites] provar que existe o limite

Mensagempor heric » Sáb Out 15, 2011 13:42

"Mostre, por meio de exemplos, que o limite[f(x) - g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam."
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Re: [limites] provar que existe o limite

Mensagempor LuizAquino » Seg Out 17, 2011 11:35

heric escreveu:"Mostre, por meio de exemplos, que o limite[f(x) - g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam."

O enunciado desse exercício não está bem posto.

Um texto mais adequado seria, por exemplo, algo como:

"Verifique, por meio de exemplos, que em alguns casos \lim_{x\to c}f(x)-g(x) existe mesmo que f(c) e g(c) não estejam definidos."

Basta então fornecer um exemplo. Considere as funções:

f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1}

g(x) = \frac{x - 1}{4x^2 - 4}

Ambas as funções não estão definidas em x = 1. Entretanto, temos que:

\lim_{x\to 1} f(x) - g(x) = \lim_{x\to 1}  \frac{x - 1}{x^2 - 1} - \frac{x - 1}{4x^2 - 4}

= \lim_{x\to 1}  \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x - 1}{4(x - 1)(x+1)}

= \lim_{x\to 1}  \frac{1}{x+1} - \frac{1}{4(x+1)}

= \frac{1}{1+1} - \frac{1}{4(1+1)} = \frac{3}{8}

Observação
Note que no enunciado proposto está escrito que "(...) em alguns casos (...)" isso pode ser verdadeiro. Vejamos um exemplo onde isso é falso.

Considere as funções:

f(x) = \begin{cases} 5,\, x < 0 \\ 3,\, x > 0\end{cases}

g(x) = \begin{cases} 2,\, x < 0 \\ 1,\, x > 0\end{cases}

Ambas as funções não estão definidas em x = 0. Além disso, temos que \lim_{x\to 0}f(x)-g(x) não existe, pois os limites laterais são distintos:

\lim_{x\to 0^-} f(x) - g(x) = 5 - 2 = 3

\lim_{x\to 0^+} f(x) - g(x) = 3 - 1 = 2
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}