[limites] provar que existe o limite

por **heric** » Qui Out 13, 2011 14:36

provar que o limite de [f(x).g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam.

por **heric** » Sáb Out 15, 2011 01:32

para quem resolveu, desculpe cometi um erro, na verdade era pra provar que lim [f(x)-g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam. eu troquei o sinal de subtração(-) por multiplicação(.) se puder responder novamente...muito obrigado!

por **LuizAquino** » Sáb Out 15, 2011 07:48

Qual é exatamente o texto do exercício? Você poderia por favor copiar aqui exatamente da mesma maneira como ele aparece?

por **heric** » Sáb Out 15, 2011 13:42

"Mostre, por meio de exemplos, que o limite[f(x) - g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam."

por **LuizAquino** » Seg Out 17, 2011 11:35

heric escreveu:"Mostre, por meio de exemplos, que o limite[f(x) - g(x)] existe mesmo que f(x) e g(x) não existam."

O enunciado desse exercício não está bem posto.

Um texto mais adequado seria, por exemplo, algo como:

"Verifique, por meio de exemplos, que em alguns casos $\lim_{x\to c}f(x)-g(x)$ existe mesmo que f(c) e g(c) não estejam definidos."

Basta então fornecer um exemplo. Considere as funções:

$f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1}$

$g(x) = \frac{x - 1}{4x^2 - 4}$

Ambas as funções não estão definidas em x = 1. Entretanto, temos que:

$\lim_{x\to 1} f(x) - g(x) = \lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{x^2 - 1} - \frac{x - 1}{4x^2 - 4}$

$= \lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x - 1}{4(x - 1)(x+1)}$

$= \lim_{x\to 1} \frac{1}{x+1} - \frac{1}{4(x+1)}$

$= \frac{1}{1+1} - \frac{1}{4(1+1)} = \frac{3}{8}$

Observação
Note que no enunciado proposto está escrito que "(...) em alguns casos (...)" isso pode ser verdadeiro. Vejamos um exemplo onde isso é falso.

Considere as funções:

$f(x) = \begin{cases} 5,\, x < 0 \\ 3,\, x > 0\end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 2,\, x < 0 \\ 1,\, x > 0\end{cases}$

Ambas as funções não estão definidas em x = 0. Além disso, temos que $\lim_{x\to 0}f(x)-g(x)$ não existe, pois os limites laterais são distintos:

$\lim_{x\to 0^-} f(x) - g(x) = 5 - 2 = 3$

$\lim_{x\to 0^+} f(x) - g(x) = 3 - 1 = 2$