[Derivadas] Interpretação de derivadas e funções

por **vinik1** » Qua Out 12, 2011 16:03

Tenho o seguinte problema:

Dois resistores R1 e R2 são conectados em paralelo, e a resistência equivalente R medida em ? é dada por:

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}$

Se R1 e R2 estão variando a uma taxa de 0,1 ?/s e 0,4 ?/s respectivamente,
determinar a taxa de variação de R quando R1=75? e R2=100?

Então:

R1 em função de t (em segundos):
$R1=\frac{1}{10}t$

R2 em função de t
$R2=\frac{2}{5}t$

Muito bem..
Cheguei na expressão de R em função de t (em segundos):

$R=\frac{1}{\frac{1}{{\frac{1}{10}t}}+\frac{1}{{\frac{2}{5}t}}}$

Que é igual a:

$R=\frac{2}{25}t$

Então, a taxa de variação é 2/25, certo?

Mas aonde vai o 75 e o 100??????
Como a função é linear, a derivada não varia, certo? ou seja, o 75 e 100 não servem para nada?

Estou interpretando algo errado, ou o professor colocou esses valores justamente para gerar essa duvida nos alunos?

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por **Neperiano** » Qua Out 12, 2011 22:07

Ola

Não cheguei ainda em associção de resistores, mas acredito que aqueles valores só servem para tu descobrir o tempo, tu pode isolar o t com eles, na física vai haver muitas questões, pricipalmente em termodinâmica que metade das informações não vai servir para nada.

Atenciosamente

por **LuizAquino** » Qua Out 12, 2011 22:08

vinik1 escreveu:R1 em função de t (em segundos):
$R1=\frac{1}{10}t$

R2 em função de t
$R2=\frac{2}{5}t$

Você já começou a errar a partir daqui.

Leia com atenção o enunciado:

"(...) Se R1 e R2 estão variando a uma taxa de 0,1 ?/s e 0,4 ?/s respectivamente (...)"

O que isso significa é:

$\frac{dR_1}{dt} = \frac{1}{10} \ \Omega/s$

$\frac{dR_2}{dt} = \frac{2}{5} \ \Omega/s$

Como R está em função de R_1

e

, sendo que eles estão em função do tempo, temos que R também está em função do tempo.

Aplicando a regra da cadeia, temos que:

$\frac{dR}{dt} = \frac{dR}{dR_1}\frac{dR_1}{dt} + \frac{dR}{dR_2}\frac{dR_2}{dt}$

Lembrando que $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ , que é o mesmo que $R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ , temos que as derivadas de R em relação a R_1

e a

serão:

$\frac{dR}{dR_1} = \frac{R_2^2}{(R_1 + R_2)^2}$

$\frac{dR}{dR_2} = \frac{R_1^2}{(R_1 + R_2)^2}$

Pelos dados do exercício, temos que $R_1 = 75\ \Omega$ e $R_2 = 100\ \Omega$ . Sendo assim, podemos dizer que:

$\frac{dR}{dR_1} = \frac{16}{49}$

$\frac{dR}{dR_2} = \frac{9}{49}$

Portanto, no final temos que a taxa de variação de R considerando os dados fornecidos será:

$\frac{dR}{dt} = \frac{16}{49}\cdot \frac{1}{10}+ \frac{9}{49}\cdot \frac{2}{5} = \frac{26}{245} \ \Omega/s$

Observação
Eu recomendo que você assista a vídeo-aula "18. Cálculo I - Taxas de Variação Relacionadas". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **vinik1** » Qua Out 12, 2011 22:46

LuizAquino escreveu:
vinik1 escreveu:R1 em função de t (em segundos):
$R1=\frac{1}{10}t$

R2 em função de t
$R2=\frac{2}{5}t$

Você já começou a errar a partir daqui.

Leia com atenção o enunciado:

"(...) Se R1 e R2 estão variando a uma taxa de 0,1 ?/s e 0,4 ?/s respectivamente (...)"

Pois é, mas a minha interpretação foi a seguinte:

A taxa de variação é 0,1 ?/s
Se essa taxa é constante, isso significa uma função linear, com o coeficiente angular da reta de 0,1 onde o eixo da ordenadas é R1 (em ?) e o eixo da abscissa é t (em segundos)
certo?

Ai vem a minha função: $R1=\frac{1}{10}t$

logo

$\frac{dR1}{dt}=\frac{1}{10}$

Tem algo de errado ai?? Até ai eu não tinha duvidas...
Se estiver errado, estou equivocado, e isso nao é bom
Depois que eu entender o meu erro nesse ponto, passo para o próximo.

Pensando em gráficos, eu não consegui enxergar aonde vai os valores de 75 e 100, pois se tratando de funções lineares, as taxas de variação são constantes!
R em função de t é linear? como seria essa função?

Vou assistir a aula que vc me disse, talvez ele me dê uma luz

Obrigado!

por **LuizAquino** » Qui Out 13, 2011 10:13

vinik1 escreveu:Pois é, mas a minha interpretação foi a seguinte:

A taxa de variação é 0,1 ?/s
Se essa taxa é constante, isso significa uma função linear, com o coeficiente angular da reta de 0,1 onde o eixo da ordenadas é R1 (em ?) e o eixo da abscissa é t (em segundos)
certo?

Ai vem a minha função: $R1=\frac{1}{10}t$

logo

$\frac{dR1}{dt}=\frac{1}{10}$

Tem algo de errado ai??

O formato geral de uma função linear é R_1(t) = at + b

. Note que há dois coeficientes a determinar: a e b.

Das informações do exercício, você até pode supor $a = \frac{1}{10}$ .

Mas quanto ao valor de b? Não há informação no problema que permita o seu cálculo!

A única coisa que você sabe é que há um tempo $\overline{t}$ (que não foi fornecido), tal que $R_1\left(\overline{t}\right) = 75$ . Isso não é suficiente para determinar explicitamente o valor de b. O máximo que você pode fazer é expressar b em função de $\overline{t}$ . Mas nesse caso você apenas estaria trocando uma informação desconhecida por outra!