[Continuidade] Problema de Valor Intermediário

por **Imscatman** » Seg Out 03, 2011 00:18

Se a e b são números positivos, demonstre que a equação a seguir tem pelo menos uma solução no intervalo (-1, 1).

$\frac{a}{{x}^{3}+2{x}^{2}-1}+\frac{b}{{x}^{3}+x-2}=0$

Cálculo 6 ed., James Stewart, p.117, q.62.

Já perdi horas com isso, e não há resposta em parte alguma. Como chutando valores de x no intervalo (-1, 1), geralmente se obtém parcelas negativas e, portanto, resposta negativa, minha estratégia foi tentar mostrar que ambas as parcelas são positivas num dado sub-intervalo dentro de (-1,1). Se eu conseguisse isto, mostraria que a função da esquerda (a soma à esquerda da igualdade, digo) varia entre valores negativos e positivos e, portanto, passa por zero - pois é uma função contínua e definida dentro do intervalo pedido.

No entanto fracassei.

Como a e b são positivos, cada parcela será positiva quando o denominador for positivo.

x³ + 2x² - 1 é positivo dentro do intervalo (-1,1) para 0.618 < x < 1.

* Esse 0.618 é aproximação de $\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}$

Mas x³ + x - 2 nunca é positivo dentro intervalo! Só para x > 1.

Então, aparentemente, eu precisaria mostrar que, nos casos em que a 1ª parcela é positiva (em 0.618 < x < 1), seu valor absoluto é às vezes maior que o da 2ª parcela negativa - o que faria a função ser positiva como preciso, rs. Acho que isso é demais pra mim, hehehe.

Imagino que a real solução seja mais simples, com outra estratégia.

Se alguém puder ajudar, ficaria grato.

Obrigado pela atenção.

por **MarceloFantini** » Seg Out 03, 2011 01:07

Como o intervalo é aberto em -1 e 1, podemos multiplicar tudo por (x^3 +2x^2 -1)(x^3 +x -2)

e obteremos a(x^3 +x -2) +b(x^3 +2x^2 -1) =0

. Agora considere esta relação no intervalo [-1,1]

, ou seja, fechado em -1 e 1. Quando x=-1

, nós temos a(-1+1-2)+b(0) = -2a < 0

. Tomando

, teremos

, logo pelo Teorema de Bolzano a equação tem pelo menos uma raíz real no intervalo (-1,1)

.

por **Imscatman** » Seg Out 03, 2011 01:37

Sensacional, Marcelo! :-D

Muito obrigado.

por **Imscatman** » Seg Out 03, 2011 02:12

O tópico está resolvido, mas seria desperdício eu não perguntar o seguinte: minha linha de raciocínio tem alguma saída simples? Isto é, tem algum jeito praticável de, como eu disse

mostrar que, nos casos em que a 1ª parcela é positiva (em 0.618 < x < 1), seu valor absoluto é às vezes maior que o da 2ª parcela negativa - o que faria a função ser positiva

?

Obviamente não é urgente, rs. Mas se alguém por acaso souber, enriqueceria o tópico.
Eu na verdade nem mesmo tentei. Estava cansado, hehe.