[função logarítimica] ajuda?

por **danielleecb** » Seg Set 26, 2011 18:09

Oi pessoal, não consigo encontrar de modo algum a resposta desta questão. Já fiz de mil modos...

"Considerando-se as funções reais f(x) = 2^(x+1)

(uma observação, é 2 elevado a (x+1)... nao consegui fazer isso )e g(x) = log2 (x-4)

, é correto afirmar:
(01) A equação (tex) gof(x) = 0 (/tex) possui uma única raiz igual a log2 (5/2)

."

A afirmativa é verdadeira, questão estilo UFBA... A propósito, não achei em canto nenhum como colocar o 2 na base do log... ou seja o dois é a base e o que está entre parenteses, o logaritmando.
A primeira vez que tentei fiz de um modo completamente errado... A segunda, achei que 2^x = 5/2

mas essa, obviamente não é a resposta :X
Ajuda?

p.s.: desculpem os erros de formatação com o LaTex , sou nova aqui e nao encontrei nos fóruns as formatações desejadas.

por **MarceloFantini** » Seg Set 26, 2011 20:56

Daniel, para escrever o código use isto:

Código: Selecionar todos: 2^{x+1}

e sairá: $2^{x+1}$ . Para escrever subscrito:

Código: Selecionar todos: \log_2 (x-4)

e sairá: $\log_2 (x-4)$ . Sobre a questão, vamos analisar: encontrando a composta:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \log_2 (f(x)-4) = \log_2 (2^{x+1} -4)$

Igualando a zero para encontrar raízes:

$\log_2 (2^{x+1} -4) = 0 \implies 2^{x+1} -4 = 1 \implies 2^x \cdot 2 = 5 \implies 2^x = \frac{5}{2}$

Usei a propriedade que $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$ . Aplicando o logaritmo na base 2 dos dois lados:

$\log_2 2^x = x = \log_2 \frac{5}{2}$

Ou seja, você ficou a um passo da solução. Faltou aplicar logaritmo na base 2 mais uma vez.