Trigonometria

por **jorgeipu** » Ter Set 27, 2011 08:57

Esta questão é do livro "MATEMÁTICA COMPLETA" de Giovanni e Bonjorno. (pág. 58 Q.09) - (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo AbC é reto, BC= $5\sqrt[]{6}$ e cos(BÂC)= $\frac{3}{\sqrt[]{15}}$
Considerando esses dados, calcule o comprimento do cateto AB.

A resposta é pra ser AB=15. Já tentei resolver mas acho que falta alguma informação

por **Renato_RJ** » Ter Set 27, 2011 14:11

Vamos ver se posso lhe ajudar, campeão...

Seguinte, o $cos(BÂC) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AC = \frac {AB}{cos(BÂC)}$

Usando o teorema de Pitágoras (pois o triângulo é reto), temos:

AB^2 + BC^2 = AC^2

Logo temos:

$AB^2 + 25*6 = AB^2 \cdot \frac{15}{9}$

O que nos dá:

$AB^2 - \frac{15}{9} \cdot AB^2 = -25*6 \Rightarrow 9 \cdot AB^2 - 15 \cdot AB^2 = - 25*6$

Multiplicando ambos os lados por -1, para garantir medidas reais, temos:

$15 \cdot AB^2 - 9 \cdot AB^2 = 25*6 \Rightarrow 6 \cdot AB^2 = 9*25*6 \Rightarrow AB^2 = 9*25 \Rightarrow AB = 3*5 = 15$

Espero ter ajudado...

[ ]'s
Renato.

por **jorgeipu** » Qua Set 28, 2011 11:52

Renato_RJ escreveu:Vamos ver se posso lhe ajudar, campeão...

Seguinte, o $cos(BÂC) = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AC = \frac {AB}{cos(BÂC)}$

Usando o teorema de Pitágoras (pois o triângulo é reto), temos:

Logo temos:

$AB^2 + 25*6 = AB^2 \cdot \frac{15}{9}$

O que nos dá:

$AB^2 - \frac{15}{9} \cdot AB^2 = -25*6 \Rightarrow 9 \cdot AB^2 - 15 \cdot AB^2 = - 25*6$

Multiplicando ambos os lados por -1, para garantir medidas reais, temos:

$15 \cdot AB^2 - 9 \cdot AB^2 = 25*6 \Rightarrow 6 \cdot AB^2 = 9*25*6 \Rightarrow AB^2 = 9*25 \Rightarrow AB = 3*5 = 15$

Espero ter ajudado...

[ ]'s
Renato.

Valeu irmão!!!
Ajudou e muito
Jorge Fernando

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