FUNÇÃO NÃO CONSIGO CHEGAR À RESPOSTA CERTA

por **DIEGO ALVES LOPES** » Sáb Abr 11, 2009 01:53

A questão é a seguinte:

(EEM-SP) Seja $f:R\rightarrow R$ a função tal que $f(x)=x{}^{2}$ . Seja $g:R\rightarrow R$ a função tal que $g(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Calcule g(x).

A resposta que o livro dá é: g(x)=2x+h

Tentei várias vezes, daí tive a idéia de por em evidência o f(x+h), ficou da seguinte forma:
$f(x+h)=x{}^{2}+g(x).h$ , isso já considerando f(x) substituído por $x{}^{2}$ .

Daí fiz a seguinte relação:

Se f(x)= $x{}^{2}$ ; e,
$f(x+h)=x{}^{2}+g(x).h$ ; então,
$f(x+h)=(x+h){}^{2}+g(x).h$ .

Aí vem o problema, ao prosseguir o cálculo daí, chego na seguinte situação:

$g(x)=\frac{x{}^{2}+2.x.h+ h{}^{2}+ g(x).h - x{}^{2}}{h}$

prosseguindo eu chego em: g(x)=2x+h+g(x)

;, logo

, finalizando em:

2x+h=0

em vez de

Gostaria que me ajudassem a resolver esse problema.

Grato.

Diego

por **Molina** » Sáb Abr 11, 2009 04:26

Boa noite, Diego.

É interessante o jeito que você pensou na questão, mas fazendo de uma forma mais simples, temos que:

$g(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$g(x)=\frac{{(x+h)}^{2}-{x}^{2}}{h}$

$g(x)=\frac{{x}^{2}+2xh+{h}^{2}-{x}^{2}}{h}$

$g(x)=\frac{2xh+{h}^{2}}{h}$

$g(x)=\frac{h*(2x+h)}{h}$

g(x)=2x+h

Acredito que em breve você estará vendo Derivada, pois o $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ é a derivada de f no ponto f'(x). Mais informações pode-se obter aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada

Abraços. Bom estudo! :y: