Resolver por EDO calculoII

por **maykonnunes** » Seg Set 19, 2011 11:07

Suponha que a quantidade de petróleo bombeada de um poço, diminui a uma taxa contínua de 10% por ano. Quando a produçãao do poço atingirá um quinto de seu valor atual? (Resolva usando EDO)

Estou sem idéia de inicio acho que me falta interpretação

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 11:21

maykonnunes escreveu:Suponha que a quantidade de petróleo bombeada de um poço, diminui a uma taxa contínua de 10% por ano. (...)

Seja P(t) a quantidade de petróleo no tempo t. Desse modo, temos que:

$\frac{dP}{dt} = 0,9P$

maykonnunes escreveu:(...) Quando a produçãao do poço atingirá um quinto de seu valor atual?

Suponha que P(0) = P_0

. Você deseja calcular o tempo t tal que $P(t) = \frac{P_0}{5}$ .

maykonnunes escreveu:Estou sem idéia de inicio acho que me falta interpretação

De fato, interpretação foi o que faltou. *-)

por **maykonnunes** » Seg Set 19, 2011 12:45

LuizAquino, de f ( y) y ' = g(x) , usando a forma dy/dx=y´ segue que f ( y)dy = g(x)dx
não estou conseguindo identificar os termos para integrar
se puder dar mais uma mão fico agradecido.

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 16:47

maykonnunes escreveu:não estou conseguindo identificar os termos para integrar

Note que:

$\frac{dP}{dt} = 0,9P$

$\frac{1}{0,9P}dP = dt$

$\int \frac{1}{0,9P}dP = \int dt$

por **maykonnunes** » Ter Set 20, 2011 15:08

Luiz, bom acho que entedi algumas coisas, se eu pensar em uma PG onde primerio termo Po razao 0,9 $f(t)= P.{0,9}^{t}$ , então P é constante ${0,9}^{t-1}$ é a váriavel, mas não consigo colocar está ideia em EDO.

Ou seja a ideia é assim: $f(t)=\int_{0}^{t}Po.{0,9}^{t-1}$
ai basta resolver a integral??
e fazer $\frac{Po}{5}=\int_{0}^{t}Po.{0,9}^{t-1}$ ??
encontro a solução??

por **MarceloFantini** » Ter Set 20, 2011 18:37

Não necessariamente é uma progressão geométrica. Resolva a integral e use as informações que o colega Luiz Aquino te indicou.

por **maykonnunes** » Ter Set 20, 2011 19:33

"LuizAquino disse
Note que:

$\int \frac{1}{0,9P}dP = \int dt$

Bom resolvendo tenho:
$\frac{10log(p)}{9}=t$
proximo passo??

por **MarceloFantini** » Ter Set 20, 2011 19:40

Não se esqueça da constante. $\frac{10}{9} \cdot \ln P = t+C_1 \implies \ln P = \frac{9(t+C_1)}{10} \implies P(t) = e^{\frac{9t}{10} + C}$ . Lembre-se que P(0) = P_0

, que é a quantidade inicial. Depois disso, faça $P(t) = \frac{P_0}{5}$ e encontre t.

por **maykonnunes** » Qua Set 21, 2011 00:13

Segundo meu tutor $\frac{dt}{dp}=-0,9t.Po$ ai fica $P(t)=Po.{e}^{-0,9t}$ , ai então $\frac{Po}{5}=Po.{e}^{-0,9t}$ que: $\frac{1}{5}={e}^{-0,9t}$ ai daqui para frente não consigo mais solucionar

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